Рахман П.А. - Кодирование информации

выше: a(x) b(x)

u v

k

(a

b

, подразумевая, что

xk

i

)

k 0

k i

i 0

i u deg(a(x)): ai

0;

j v

deg(b(x)):bj

0;

«отсутствующие» коэффициенты многочленов a(x)

и b(x) равны нулю.

Теперь сделаем следующее обозначение:

u v m ,

где 0 и

0 1

образом:

m

k

(a

b

).

Заметим,

что

мы

можем

расширить

a(x) b(x)

xk

k 0

i 0

i

k i

0 k m (m 1),

пределы

для

внешнего

суммирования:

поскольку

при

k m u v внутренняя

сумма

k

(a b

)

равна

нулю, так

как при

индексах

i 0

i

k i

ai,

0 i u,

при

которых могут

быть

ненулевые

коэффициенты

индексы

k i v,

поскольку k u v, а при таких индексах,

соответственно, коэффициенты bk i

0. Таким

m (m 1)

xk

k

(a

b

). Теперь разложим внешнюю

образом, имеем: a(x) b(x)

k 0

i 0

i

k

i

сумму на

слагаемые

следующим образом:

a(x) b(x)

m (m 1)

k

b

)

xk

(a

i

k i

m (m 1)

m (m 1)

k 0

i 0

k

b

k

(a

b

)

m 1

k

b

).

xk

(a

)

xk

xk

(a

k m

i 0

i

k i

k m

i 0

i

k i

k 0

i 0

i

k i

старшем слагаемом k m k , и получим:

m 1

x m k

m k

b

(a

i

)

k 0

i 0

m k i

m 1

k

m k

m 1

xk

k

xm

(a b

)

(a b

) .

k 0

i

m k i

k 0

i

k i

i 0

i 0

Заметим,

что

полученную

сумму

нетрудно «свернуть»

в одну тройную сумму:

m 1

m k

m k

b

. Преобразуем

выражение

x m k в

x

(a

i

m k i

)

0

i 0

k 0

выражение

(x m 1 1) xk ,

и

тогда

получаем следующее

выражение:

a(x) b(x)

и, соответственно, остатком от суммы по модулю многочлена (xm 1) будет сама сумма.

Тогда, с учетом всего вышесказанного, а также учитывая, что

u v m ,

где

0

и 0 m 1, u deg(a(x)),

v deg(b(x)),

откуда

нетрудно

выразить параметр

(u v)/m (deg(a(x)) deg(b(x)))/m ,

можем

окончательно записать формулу

для

вычисления циклической свертки двух многочленов a(x) и b(x):

GF(p)

m

m 1

k

m k

(a(x) b(x))mod(x

x

b

1)

a

i

k 0

0

i 0

m k i

(deg(a(x)) deg(b(x)))/m ;

m 2;

(1.7.1)

i deg(a(x)):ai

0;

j deg(b(x)):bj

0;

Наконец, если обозначить

j m k i, то нетрудно заметить, что i j m k .

левой и

правой части

условия

i j m k , и,

учитывая, что 0

целое

число, а

0 k m 1, а значит

( m k)modm k , то получим новое условие: (i j)modm k , и

таким образом мы можем избавиться от суммирования по

0 .

С другой стороны,

чтобы «не упустить из внимания» ни один из коэффициентов многочленов

a(x)

и b(x),

пределы для индексов должны быть, соответственно,

0 i deg(a(x))

и

0 j deg(b(x)).

Тогда в итоге мы можем записать более компактную формулу для циклической свертки:

GF(p)

m 1

(a(x) b(x))mod(x

m

1)

x

k

b

(1.7.2)

a

k 0

(i j)modm k

i

j

j 0 deg(b(x))

i 0 deg(a(x))

Примечание.

Нетрудно заметить, что если сумма степеней многочленов a(x) и b(x)

меньше либо равна m 1, иными словами

deg(a(x)) deg(b(x)) m 1, то сумма индексов

0 i j m 1, так как

0 i deg(a(x)) и

0 j deg(b(x)).

Тогда,

(i j)modm i j, и

условие (i j)modm k

упрощается: i j k . Кроме того, 0 k deg(a(x)) deg(b(x)), так

как при

k deg(a(x)) deg(b(x)),

условие

i j k

все равно не выполняется.

В таком

случае,

циклическая

свертка

превращается

в

полную

линейную

свертку:

deg(a(x)) deg(b(x))

k

x

b

i 0 deg(a(x))

deg(a(x)) deg(b(x)) m 1.

a

i

;

;

k 0

j

j 0 deg(b(x))

i j k

jmodm (k imodm)modm j (k i)modm,

так как

0 i m 1 и

0 j m 1.

Однако, заметим, что при i k имеем k i 0,

и чтобы

избегать

вычисления остатка

отрицательных чисел по модулю m, равенство

j (k i)modm

можно

эквивалентно

преобразовать: j (m k i)modm. Таким образом, мы выражаем один

индекс через

свертки (a(x) b(x))mod(xm 1) для случая,

когда deg(a(x)) m 1

и deg(b(x)) m 1:

GF(p)

(a(x) b(x))mod(x

m

1)

m 1

k

m 1

b

x

a

i

k 0

(m k i)modm

i 0

i deg(a(x)):ai 0;

j deg(b(x)):bj 0;

m 2

(1.7.3)

deg(a(x)) m 1;

deg(b(x)) m 1

Таким образом, вычисление циклической свертки в частном случае deg(a(x)) m 1 и

deg(b(x)) m 1, заметно проще, чем для случая произвольных многочленов

a(x) и b(x).

Заметим, что степень многочлена

c(x) (a(x) b(x))mod(xm

1), являющегося

циклической сверткой

двух многочленов

a(x) и

b(x), причем

deg(a(x)) m 1 и

deg(b(x)) m 1, также

не превышает m 1, иными

словами deg(c(x)) m 1. Также

где 0 i m 1,

0 j m 1, причем нетрудно заметить,

что (i j)modm k . Также

отметим, что в развернутом виде формулы хорошо видно,

что при переходе от одного

коэффициента ck

к другому в соответствующих суммах коэффициенты ai «остаются на

36

Теперь

рассмотрим

подробнее

выражение

(x c(s 1)(x))modg(x).

Учтем, что

поскольку deg(a(x)) m 1

и deg(x c(s 1)(x))mod g(x)) m 1, то

deg(c(s)(x)) m 1.

Тогда,

в худшем случае deg(x c(s 1)(x)) m,

и многочлен x c(s 1)(x) имеет следующий

вид:

c

(s 1) xm

c

(s 1) x2

c(s 1)

x.

Учитывая, что

многочлен

g(x)

является

m 1

1

0

нормированным

и

имеет

вид:

g(x) xm g

m 1

xm 1 g x g

0

,

то

деление

многочлена x c(s 1)(x)

1

на многочлен g(x)

фактически выполняется «за один шаг»:

c(s 1)

xm

c(s 1) xm 1

c

(s 1) x

0

g(x)

m 1

m 2

0

(s 1)

m

(s 1)

gm 1 x

m 1

(s 1)

(s 1)

g0

c(s 1)

cm 1

x

cm 1

cm 1

g1 x cm 1

m 1

0 xm (c(s 1) c(s 1)

g

m 1

) xm 1

(c

(s 1) c(s 1) g ) x c(s 1)

g

0

m 2

m 1

0

m 1

1

m 1

Нетрудно заметить, что остаток многочлена

x c(s 1)(x) по

модулю многочлена

g(x)

фактически

получается путем вычисления разности (x c(s 1)(x) c(s 1) g(x)).

xm

m 1

Особо отметим, что при вычислении разности, коэффициенты при

всегда взаимно

уничтожаются, поэтому степень многочлена-разности всегда m 1.

Тогда мы можем переписать рекуррентную схему вычисления кольцевую свертки,

используя полученное равенство (x c(s 1)(x))mod g(x) x c(s 1)(x) c(s 1)

g(x):

m 1

В развернутом виде рекуррентная схема выглядит следующим образом:

(a(x) b(x))mod(g(x))

m 1

(m)

x

k

c

k

(0)

k 0

(0)

s 1 m;

m 2; c0

cm 1 0;

c(s)

c

(s 1) g

a

b

0

0

0

m 1

m s