metodII.pdf матека
.pdf141
56. |
∫2xydx − x 2dy, где LOA - дуга параболы |
y = x 2 / 4 от точки O(0,0) до точки |
||||||||||||||||
|
LOA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(2,1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57. |
∫(x 2 + y2 )dx + (x 2 − y2 )dy, где LAB - ломаная линия y = |
|
x |
|
от точки A(−1,1) до |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
LAB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки B(2,2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
58. |
∫2xydx − x 2 dy + zdz, |
где |
LOA - |
отрезок |
прямой, |
|
|
соединяющий точки |
||||||||||
|
LOA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O(0,0,0)иA(2,1 − 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
59. ∫ xdy − ydx, |
где L контур треугольника с вершинами A(−1,0), B(1,0), C(0,1) при |
|||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
положительном направлении обхода. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
60. |
∫(x 2 + y)dx + (x + y2 )dy, где LABС- ломаная ABC; A(2,0); B(5,0); C(5,3). |
|||||||||||||||||
|
LABC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61. |
∫ (x 2 y + y )dx + x dy, где LOA − дуга параболы y = 2 x 2 от точки O (0; 0) до |
|||||||||||||||||
|
LOA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки A (1, 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
62. |
∫ 2 y 2 z dy − y dz, где LOBA − ломаная OBA; O (0,0,0); B (0,1,0); |
A(0,1,1). |
||||||||||||||||
|
LOBA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63. |
∫ |
x |
dx − |
1 |
|
dy, |
где |
L − дуга |
|
циклоиды |
|
x = a (t − sin t ), |
||||||
|
y − a |
|
|
|||||||||||||||
|
L |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y = a (1 − cos t ), π 6 ≤ t ≤ π 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
64. |
∫ x z dx + z R 2 − y 2 dy + x y dz, |
где |
L − дуга |
кривой |
x = R cos t, |
|||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = R sin t, z = at (2π), «пробегаемая» |
от точки |
пересечения ее |
с плоскостью |
|||||||||||||||
z = 0 до точки пересечения ее с плоскостью z = a . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
65. |
∫2x z dy − y 2 dz, |
где |
LOA − отрезок прямой от точки |
|
O (0;0;0) до точки |
|
|
|
|
145 |
|
|
96. |
∫ (x2 y − 4x)dx + xydy, где LAB - дуга параболы y2 = 4 − 4x от точки A(1,0) до |
|||||
|
L AB |
|
|
|
|
|
точки B(0,2) . |
|
|
|
|
|
|
97. |
∫ y 2 dx − 3x dy , где |
L − |
дуга эллипса x = 3 cos t, y = 4 sin t , «пробегаемая» |
|||
|
L |
|
|
|
|
|
против хода часовой стрелки. |
|
|
|
|||
98. |
∫(x + 1)dy , |
где |
L − |
контур треугольника, |
образованного |
прямыми |
|
L |
|
|
|
|
|
y = 2x, x = 1, y = 0 при положительном направлении обхода контура. |
|
|||||
99. |
∫ x 2 dy , где L − дуга синусоиды y = sin x от точки (π,0) до точки (0,0). |
|||||
|
L |
|
|
|
|
|
100. ∫ y dx + x dy, |
где L − верхняя половина эллипсоида |
x = 2 cos t, |
y = 4 sin t , |
|||
|
L |
|
|
|
|
|
«пробегаемая» по ходу часовой стрелки.
Контрольная работа №6 Элементы теории поля
Найти величину и направление наибольшего изменения функции
u(M) = u(x, y, z) в точке M 0 (x 0 , y0 , z 0 ).(градиент)
1. |
u(M) = xyz, M 0 (0,1,−2). |
2. |
u(M) = x 2 yz, M 0 (2,0,2). |
||
|
|
|
|
||
3. |
u(M) = xy 2 z, M 0 (1,−2,0). |
4. |
u(M) = xyz2 , M 0 (3,0,1). |
||
|
|
|
|
||
5. |
u(M) = x 2 y 2 z, M 0 (−1,0,3). |
6. |
u(M) = x 2 yz2 , M 0 (2,1,−1). |
||
|
|
|
|
||
7. |
u(M) = xy 2 z 2 , M 0 (−2,1,1). |
8. |
u(M) = y 2 z − x 2 , M 0 (0,1,1). |
||
|
|
|
|
||
9. |
u(M) = x 2 y + y 2 z, M 0 (0,−2,1). |
10. |
u(M) = x(y + z), M 0 (0,1,2). |
||
|
|
|
|
||
11. |
u(M) = xy − xz, M 0 (−1,2,1). |
12. |
u(M) = x 2 yz, M 0 (1,−1,1). |
||
|
|
|
|
||
13. |
u(M) = xyz, M 0 (2,1,0). |
14. |
u(M) = xyz2 , M 0 (4,0,1). |
||
|
|
|
|
||
15. |
u(M) = 2x 2 yz, M 0 (−3,0,2). |
16. |
u(M) = x 2 yz, M 0 (1,0,4). |
||
|
|
|
|
||
17. |
u(M) = (x + y)z 2 , M 0 (0,−1,4). |
18. |
u(M) = (x + z)y 2 , M 0 (2,2,2). |
||
|
|
|
|
||
19. |
u(M) = x 2 (y 2 + z), M 0 (4,1,−3). |
20. |
u(M) = (x 2 + z)y 2 , M 0 (−4,1,0). |
||
|
|
|
|
|
|
146
21. |
u(M) = x 2 (y + z 2 ), M 0 (3,0,1). |
22. |
u(M) = (x 2 − y)z 2 , M 0 (1,3,0). |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
23. |
u(M) = x(y 2 + z 2 ), M 0 (1,−2,1). |
24. |
u(M) = x 2 + 3y 2 − z 2 , M 0 (0,0,1). |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
25. |
u(M) = x 2 z − y, M 0 (1,1,−2). |
26. |
u(M) = xz 2 + y, M 0 (2,2,1). |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
27. |
u(M) = x 2 y − z, M 0 (−2,2,1). |
28. |
u(M) = xy 2 − z, M 0 (−1,2,1). |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
29. |
u(M) = y(x + z), M 0 (0,2,−2). |
30. |
u(M) = z(x + y), M 0 (1,−1,0). |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
31. |
u(M) = xyz, M 0 (2,1,−2). |
|
32. |
u(M) = x 2 y + xz, M 0 (2,0,2). |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
33. |
u(M) = xy |
2 |
z + yx |
2 |
, M 0 (1,−2,0). |
34. |
u(M ) = xz + x 2 y + z 2 , M 0 (3,0,−1). |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
35. |
u(M ) = x 2 y 2 z, M 0 (−1,0,3). |
|
|
|
36. |
u(M) = x |
2 |
+ 4yz |
2 |
, M 0 (2,1,−1). |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
37. |
u(M ) = xz + x 2 y + z 2 , M 0 (3,0,−1). |
38. |
u(M) = y |
2 |
z − x |
2 |
, M 0 |
(−1,1,1). |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
39. |
u(M) = e x y + y 2 z, M 0 (0,−2,1). |
40. |
u(M) = e x (y + z), M 0 (0,1,2). |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
u(M) = x 2 y − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(M) = x 2 yz, M 0 (−1,−1,1). |
||||||||||||||
41. |
z, M0 (−1,2,1). |
42. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
43. |
u(M) = xz + y 2 + x 2 z, M 0 (2,1,0). |
44. |
u(M) = xyz2 , M 0 (−4,0,1). |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
45. |
u(M) = 2x 2 y 2 z, M 0 (−3,0,2). |
46. |
u(M) = x 2 y + z 2 , M 0 (1,0,4). |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
47. |
u(M) = (2x + 3y)z 2 , M 0 (0,−1,4). |
48. |
u(M) = (x 2 + z3 )y 2 , M 0 (2,2,2). |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
49. u(M) = x 2 (y 2 + 4z), M 0 (4,1,−3). |
50. |
u(M) = (x 2 − z 2 )y 2 , M 0 (−4,1,0). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
51. |
u(M) = x 2 (y 2 + z 2 ), M 0 (3,0,1). |
52. |
u(M) = (x 2 − y3 )z 2 , M 0 (1,3,0). |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
u(M) = |
|
|
(y 2 + z 2 ), M 0 (1,−2,1). |
|
u(M) = x 2 + 3y 2 − z 2 , M 0 (−1,2,1). |
|||||||||||||||||||
52. |
x |
54. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
u(M) = x |
2 z − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1,1,−2). |
|
u(M) = xz |
2 + y |
3 , M |
|
|
||||||||
55. |
|
yz, M |
0 |
56. |
0 |
(2,2,1). |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
u(M) = x |
2 y − 4 |
|
y 2 , M |
|
(−2,2,1). |
|
u(M) = xy |
2 + z |
3 , M |
|
(−1,2,1). |
|||||||||||||
57. |
z |
0 |
58. |
0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
59. |
u(M) = y(x 3 − z3 ), M 0 (0,2,−2). |
60. |
u(M) = ez (x + y), M0 (1,−1,0). |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти производную функции u(M ) = u(x, y, z) в точке M 0 (x0 , y0 , z0 ) в направлении вектора l
r
61. u(M) = xyz + x 2 , M 0 (0,1,−2), l = (1,−1,2)
r
62. u(M) = x 2 y + yz, M0 (2,0,2), l = (2,3,−1)
r
63. u(M) = xy 2 z + zy, M 0 (1,−2,0), l = (−1,3,−2)
r
64. u(M) = y 2 x − xyz2 , M 0 (3,0,1), l = (1,0,2 2)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
147 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||||
65. |
u(M) = x 2 |
|
|
+ y 2 + z, M 0 (−1,0,3), l = (3,2,1) |
||||||||||||
|
u(M) = x 2 |
|
|
− yz2 |
|
r |
||||||||||
66. |
|
|
, M 0 (2,1,−1), l = (2,2,1) |
|||||||||||||
|
u(M) = xy2 |
− z 2 |
|
r |
||||||||||||
67. |
, M 0 (−2,1,1), l = (1,−2,2) |
|||||||||||||||
|
u(M) = y 2 z − x 2 |
|
r |
|||||||||||||
68. |
, M0 (0,1,1), l = (0,6,8) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||||
69. |
u(M) = x 2 y + y 2 z, M 0 (0,−2,1), l = (1,−2,−2) |
|||||||||||||||
|
u(M) = e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|||||
70. |
(y + z), M 0 (0,1,2), l = (1,2,2) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
71. |
u(M) = x |
|
|
y − xz, M 0 (−1,4,1), l = (−1,3,2) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||||
72. |
u(M) = x 2 y + y 2 z, M 0 (1,−1,1), l = (4,3,0) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||||
73. |
u(M) = x 2 |
|
|
+ y 2 + z 2 , M 0 (2,1,0), l = (1,−2,2) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||||
74. |
u(M) = x y + xz 2 , M 0 (4,0,1), l = (1,2,−2) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||||
75. |
u(M) = 2x 2 y + z, M0 (−3,0,2), l = (3,4,0) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
76. |
u(M) = x 2 yz, M 0 (1,0,4), l = (6,2 2, 5) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
77. |
u(M) = (x + y) z, M0 (0,−1,4), l = (−3,6,4) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||||
78. |
u(M) = (x + z)y2 , M0 (2,2,2), l = (−1,−2,2) |
|||||||||||||||
|
u(M) = x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
79. |
( |
|
|
y + z), M 0 (4,1,−3), l = (3,4,12) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||||
80. |
u(M) = (x 2 |
+ z)y 2 , M 0 (−4,1,0), l = (−3,−4,6) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||||
81. |
u(M) = x 2 |
(y 2 + z 2 ), M 0 (3,0,1), l = (−3,−12,4) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||||
82. |
u(M) = (x 2 |
− y)z 2 , M0 (1,3,0), l = (−1,−2,−2) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||||
83. |
u(M) = x(y 2 + z 2 ), M 0 (1,−2,1), l = (−6,−4,−3) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|||
84. |
u(M) = x 2 |
|
|
+ 3y 2 |
− 2z 2 , M0 (1,0,1), l = (3,12,4) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||||
85. |
u(M) = x 2 z − xy, M0 (1,1,−2), l = (1,−2,2) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||||
86. |
u(M) = xz2 |
+ y 2 z, M0 (2,2,1), l = (3,6,4) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||||
87. |
u(M) = x 2 y − 2z, M0 (−2,2,1), l = (1,−2,−2) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||||
88. |
u(M) = xy 2 |
|
− x 2 z, M 0 (−1,2,1), l = (12,−4,−3) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||||
89. |
u(M) = y(x 2 + z 2 ), M 0 (0,2,−2), l = (−1,2,2) |
|
|
|
|
|
|
|
148 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||
90. |
u(M) = z( |
|
x + y 2 ), M 0 (1,−1,0), l = (−3,−6,−4) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
||
91. |
u(M) = xyz + x 2 , M 0 (1,1,2), l = (1,−1,2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
||
92. |
u(M) = x 2 zy + y 2 + z, M 0 (2,0,2), l = (2,3,−1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
||
93. |
u(M) = xy2 z + zy, M0 (1,−2,0), l = (3,6,6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
94. |
u(M) = y2 x + xyz2 , M0 (3,1,1), l = (1,0,2 2) |
||||||||
|
u(M) = x 2 |
+ 3y 2 |
r |
||||||
95. |
+ 2z, M 0 (−1,0,3), l = (3,−2,1) |
||||||||
|
u(M) = x 2 |
+ yz2 |
r |
||||||
96. |
, M0 (2,1,−1), l = (2,−2,1) |
||||||||
|
u(M) = xy2 + z 2 |
r |
|||||||
97. |
, M0 (−2,1,1), l = (−1,−2,2) |
||||||||
|
u(M) = y 2 z + x 2 |
r |
|||||||
98. |
, M0 (1,1,1), l = (0,6,8) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
||
99. |
u(M) = x 2 y + y 2 z, M 0 (−1,−2,1), l = (1,−4,−8) |
||||||||
|
u(M) = e x |
|
|
|
|
|
r |
||
99. |
(y + z), M 0 (0,1,2), l = (1,−2,2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
||
100. u(M) = x |
|
|
y + xz 2 , M 0 (−1,4,1), l = (−1,−3,2) |
Вычислить поток векторного поля a(M) через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью (p) и координатными плоскостями одним из двух способов: 1) использовав определение потока; 2) с помощью формулы Остроградско- го-Гаусса.
4.1. a(M ) = 3xi + ( y + z) j + (x − z)k , ( p) : x + 3 y + z = 3.
4.2.a(M ) = (3x − 1)i + ( y − x + z) j + 4zk , ( p) : 2x − y − 2z = 2.
4.3.a(M ) = xi + (x + z) j + ( y + z)k , ( p) : 3x + 3y + z = 3.
4.4. a(M ) = (x + z)i + (z − x) j + (x + 2 y + z)k , ( p) : x + y + z = 2.
4.5. a(M ) = ( y + 2z)i + (x + 2z) j + (x − 2 y)k , ( p) : 2x + y + 2z = 2
4.6.a(M ) = (x + z)i + 2 yj + (z + y − z)k , ( p) : x + 2 y + z = 2
4.7.a(M ) = (3x − y)i + (2 y + z) j + (2z − x)k , ( p) : 2x − 3 y + z = 6.
4.8. a(M ) = (2 y + z)i + (x − y) j − 2zk , ( p) : x − y + z = 2.
4.9.a(M ) = (x + y)i + 3yj + ( y − z)k , ( p) : 2x − y − 2z = −2.
4.10.a(M ) = (x + y − z)i − 2 yj + (x + 2z)k , ( p) : x + 2 y + z = 2.
4.11.a(M ) = ( y − z)i + (2x + y) j + zk , ( p) : 2x + y + z = 0.
4.12.a(M ) = xi + ( y − 2z) j + (2x − y + 2z)k , ( p) : x + 2 y + 2z = 2
149
4.13.a(M ) = (x + 2z)i + ( y − 3z) j + zk , ( p) : 3x + 2 y + 2z = 6.
4.14.a(M ) = 4xi + (x − y − z) j + (3 y + 2z)k , ( p) : 2x + y + z = 4.
4.15. a(M ) = (2z − x)i + (x + 2 y) j + 3zk , ( p) : x + 4 y + 2z = 8.
4.16. |
a(M ) = 4zi + (x − y − z) j + (3 y + z)k , |
( p) : x − 2 y + 2z = 2. |
4.17. |
a(M ) = (x + y)i + ( y + z) j + 2(z + x)k , |
( p) : 3x − 2 y + 2z = 6. |
4.18.a(M ) = (x + y + z)i + 2zj + ( y − 7 z)k , ( p) : 2x + 3 y + z = 6.
4.19.a(M ) = (2x − z)i + ( y − x) j + (x + 2z)k , ( p) : x − y + z = 2.
4.20.a(M ) = (2 y − z)i + (x − y) j + xk , ( p) : x + 2 y + 2z = 4.
4.21.a(M ) = (2z − x)i + (x − y) j + (3x + z)k , ( p) : x + y + 2z = 2.
4.22.a(M ) = (x + z)i − (x + 3 y) j + yk , ( p) : x + y + 2z = 2.
4.23. a(M ) = (x + z)i − zj + (2x − y)k , ( p) : 2x + 2 y + z = 4.
4.24.a(M ) = (3x + y)i + (x − z) j + yk , ( p) : x + 2 y + z = 2.
4.25.a(M ) = ( y + z)i − ( y + z) j + ( y + 3z)k , ( p) : 2x + y + 3z = 6.
4.26. a(M ) = ( y + z)i − (x + 6 y) j + yk , |
( p) : x + 2 y + 2z = 2. |
|
4.27. a(M ) = (2 y − z)i − (x + 2 y) j + yk , |
( p) : x + 3 y + 2z = 6. |
|
4.28. a(M ) = ( y + z)i − xj + ( y − 2z)k , |
( p) : 2x + 2 y + z = 2. |
|
4.29. a(M ) = (x + z)i + j + (2x − y)k , |
( p) : 3x + 2 y + z = 6. \ |
4.30. a(M ) = zi + (x + y) j + yk , ( p) : 2x + y + 2z = 2.
4.1.a(M ) = xi + ( y + z) j + (x + z)k , ( p) : 2x + 3 y + z = 6.
4.2.a(M ) = (3x + y)i + ( y − x − z) j + zk , ( p) : x − y − 2z = 2.
4.3.a(M ) = xi + ( y + 2z) j + (3 y + z)k , ( p ) : 3 x + y + 3 z = 3.
4.4. a(M ) = (x + 3z)i + (z − 3x) j + (2x − 3 y + z)k , ( p) : x − 2 y + z = 2.
4.5. |
a(M ) = (x + 2z)i + ( y + z) j + (3x − 2 y)k , |
( p) : 2x − 2 y + z = 2 |
4.6. |
a(M ) = (3x + z)i − 2 yj + (3z + 2 y − 3x)k , |
( p) : 4x + 2 y + z = 4 |
4.7. |
a(M ) = (2x + 3 y)i + (2 y + z) j + (2z − x)k , ( p) : 2x − 2 y + 3z = 6. |
4.8. |
a(M ) = (2 y + z)i + (2x − 3 y) j + 2zk , ( p) : 2x − 2 y + z = 2. |
4.9. a(M ) = (2x + 3 y)i + 2 yj + (3 y − 2z)k , |
( p) : x − 2 y − 2z = −2. |
4.10. a(M ) = (x + y − 3z)i + 4 yj − (x − z)k , |
( p) : 2x + y − z = 2. |
4.11. a(M ) = ( y − 2z)i + (4x + 2 y) j + 4zk , |
( p) : 2x + y + z = 2. |
a(M ) = 3xi + (2 y + 2z) j − (3x − 2 y − 3z)k , ( p ) : 2 x + y + 2 z = 2 a(M ) = (2x + 3z)i + (2 y − 3z) j + 3zk , ( p) : 3x + 2 y + 2z = 6.
a(M ) = 2xi + (3x + y − z) j + (2 y + 3z)k , ( p) : 2x + y + z = 4. a(M ) = (2z − x)i − (x + 2 y) j + 2zk , ( p) : x − 4 y + 2z = 8.
150
4.16.a(M ) = zi + (2x − y + z) j + ( y + 2z)k , ( p) : x + 2 y + z = 2.
4.17.a(M ) = (2x + 3 y)i + ( y + 2z) j − 3(z + x)k , ( p) : 3x + y + 2z = 6.
4.18.a(M ) = (3x + yz)i + 6zj + ( y − 8z)k , ( p) : 2x − 3 y + z = 6.
4.19.a(M ) = (2x + z)i + ( y − x) j − (x + 2z)k , ( p) : 2x + y + 2z = 2.
4.20. a(M ) = (2 y + 2z)i + (2x − y) j − 3zk , ( p) : x + 2 y − 2z = 4.
4.21. a(M ) = (2z + x)i + (x − 2 y) j + (3x + 2z)k , |
( p) : x + y + z = 1 |
|
4.22. a(M ) = (3x + z)i − (x + 2 y) j + (z + 2 y)k , |
( p) : x + y − z = |
2. |
4.23. a(M ) = (x + z)i + 2zj + (2x + z − y)k , ( p) : x + 2 y + z = 4. |
|
4.24. |
a(M ) = (2x + y)i + (x − 3 y − z) j + 4 yk , ( p) : 2x + 2 y + z = 2. |
4.25. |
a(M ) = ( y + 2z)i − (2 y + 3z) j − ( y − 3z)k , ( p) : 3x + 2 y + z = 6. |
4.26.a(M ) = (x + y + 2z)i − (x + 2 y) j + yk , ( p) : x + y + 2z = 2.
4.27.a(M ) = (2 y + 3x − z)i − (2x + 3 y) j + 3zk , ( p) : x − 3 y + 2z = 6.
4.28. a(M ) = (2 y + z)i + xj + (3y − 2z)k , ( p) : 2x − 2 y + z = 2.
4.29.a(M ) = (2x + 3z)i + 2 yj + (2z + y)k , ( p) : 3x + 2 y − z = 6. \
4.30.a(M ) = zi + (2x + y) j + 3 yk , ( p) : x + y + z = 2.
Найти поток векторного поля a |
через замкнутую поверхность σ |
по формуле Остроградского-Гаусса |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
= 4 |
|
|
|
|
||
|
a = 3 x 2 i − 6 x y j + 4 z k , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
61. |
σ : x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 0, |
z = 2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
= 1 |
|
|
|
|
a = x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
62. |
i − 2x y j + 4 z k |
|
|
σ : x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 0, |
z = 4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
= 1 |
|
|
|
|
a = x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
63. |
i − y j + 2x z k |
|
|
σ : x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 0, |
z = 4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
= 2 y |
|
||
64. |
a = 4x i − 2 y j + 3 z k |
|
|
σ : x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 0, |
z = 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
= 1 |
|
|
|
|
a = 4 yx i − 2 y 2 j − 3 z k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
65. |
|
|
σ : x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 0, |
z = 3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
= 1 |
|
|
|
|
a = x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
66. |
i − y j − 2x z k |
|
|
σ : x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 0, |
z = 4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
= 1 |
|
|
|
67. |
a = x2 z i − 3 y j − x z 2 k |
|
|
σ : x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 0, |
z = 4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
= 1 |
|
|
|
|
a = x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
68. |
i + 2 y j − 2x z k |
|
|
σ : x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 0, |
z = 3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
= 1 |
− z |
2 |
|
69. |
a = 4xy i − 3y 2 j + 2 y z k |
|
|
σ : x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 0 |
|
|
|
|