Курс лекций по ТМО_ Абузова Ф[1].Ф

2.Условие однозначности подобных процессов: процессы должны быть одинаковы во всём, кроме численных значений размерных постоянных,

содержащихся в этих уравнениях, т.е. запись размерных условий одно-

значности подобных процессов в символах должна быть идентична.

3.Одноименные определяющие безразмерные переменные подобных

процессов должны иметь одинаковые численные значения.

Поскольку подобные процессы характеризуются одинаковыми функ-

циями и численно одинаковыми определяющими переменными, то опре-

деляемые переменные подобных процессов также будут иметь одинако-

вые значения.

Эти три условия подобия составляют содержание теоремы Кирпи-

чёва – Гухмана (1931 г.).

Моделирование процессов КТО

Изучение процесса на образце заменяется исследованием этого же процесса на модели. Теория подобия даёт условия моделирования: про-

цесс на модели должен быть подобен процессу в образце. Моделирование включает две задачи: осуществить подобный процесс, произвести необхо-

димые измерения и наблюдения.

Рассмотрим первую задачу (вторая задача – предмет метрологии).

1.Процессы качественно одинаковы и одинаковые условия однозначности

(первые и вторые условия подобия).

Для стационарного процесса и сплошной среды условия однозначно-

сти:

А. Геометрические: lобр =cl lмод .

Размер модели уменьшается в сl раз – константа подобия (масштаб

преобразования). Но изменение геометрических размеров не должно при-

вести к качественному изменению процесса. Ограничивает сl число Кнуд-

сена ( Kн ):

123

где lсп – длина свободного пробега; lо – определяющий размер.

Для сохранения качественно одинакового процесса необходимо, что-

бы Kн ≤0,001, при Kн >0,001 – разреженный газ.

Б. Физические: νобр = сφ νмод .

Если cφ =1 (не меняются теплофизические свойства) – одна и та же

жидкость.

В. граничные: подобие процессов на границе – на входе в образец и модель и на поверхности тел (подобие скоростных и температурных полей – соблюсти не всегда удаётся).

2. Равенство определяющих чисел подобия (третье условие подобия).

Такое равенство допускает некоторую замену одной жидкости дру-

гой, но серьезно ограничивает: трудно моделировать газы жидкостями.

При переменных физических параметрах замена одной жидкости другой ещё более усложняется. Нужно изменить систему дифференциальных уравнений – не выносить физические параметры из-под знака производ-

ной. К основной системе дифференциальных уравнений следует присое-

динить:

λ = f1(t);

124

ν= f2 (t);

ρ = f3 (t) ;

cp = f4 (t) .

Теория не даёт какого-либо общего единообразного уравнения для физических параметров всех жидкостей.

Термодинамическое подобие

В случае, когда хотим получить наилучшие результаты, необходимо использовать термодинамически подобные вещества. Принцип соответст-

венных состояний предложил Ван-дер-Ваальс. В критической точке у ве-

и т.д.

На одинаковом удалении от критической точки вещества должны на-

ходиться в соответственных состояниях. Степень удаления от критической точки определяют приведенные параметры – давление, температура и удельный объём:

Вещества с одинаковыми π, τ, ω называются термодинамически подобными. Принцип соответственных состояний используется для оп-

ределения свойств одного вещества, термодинамически подобного с дру-

гим.

Теорема соответственных состояний:

Если у двух веществ равны два приведенных параметра, то и третий параметр для них имеет одинаковое значение.

125

Развитие принципа соответственных состояний привело к установле-

нию признаков термодинамического подобия. Вещества:

∙должны относиться к одинаковому типу химических соединений;

∙иметь общий тип молекул (сферические, неполярные и т.д);

∙иметь равные факторы сжимаемости в критической точке (ρ ν = Z R T ,

где Z – фактор сжимаемости, для неполярных молекул Zкр =0,292 ).

В критической точке π = τ = ω =1.

Подобные процессы должны осуществляться для термодинамически подобных веществ. Это серьезно ограничивает точное моделирование,

поэтому используют приближенное моделирование. К приближенному мо-

делированию относится и автомодельность относительно критерия. Опре-

деляемая величина автомодельна относительно числа подобия, если она не зависит от него. Тогда отпадает необходимость, чтобы Кобр =Кмод , уп-

рощаются дифференциальные уравнения.

Пример: распространение свободных струй не зависит от Re, можно не соблюдать Reобр =Reмод .

Метод локального теплового моделирования

Подобие используется лишь в том месте, где изучают теплоотдачу.

Например, при омывании средой пучка труб измерение можно произво-

дить для одной трубы. Остальные трубы служат только для придания мо-

дели формы, подобной образцу. Предполагается, что теплоотдача испы-

туемой трубы в основном зависит от характера омывания, определяемого расположением системы труб. Метод локального моделирования прост и иногда позволяет получить довольно точные результаты, но необоснован-

ное применение может привести к значительным ошибкам.

126

Метод масштабных преобразований

(приведение математической формулировки

краевой задачи к безразмерному виду)

Постановка задачи Поверхность твёрдого тела омывается несжимаемой жидкостью

( w ≤0,3 a ), температура стенки больше температуры жидкости, вдали от стенки tж и wж постоянны, теплофизические свойства постоянны.

Возникает подъёмная сила из-за изменения плотности. Теплота тре-

ния не учитывается, процесс стационарный. Ось OX параллельна поверх-

ности, ось OY – перпендикулярная ей, ось OZ lo . При этом воздействует

сила тяжести с ускорением g = gx .

Решение При принятых допущениях можно использовать уравнения прибли-

127

В уравнениях и условиях однозначности можно выделить 3 вида ве-

личин:

∙независимые переменные ( x,y );

∙зависимые переменные (ϑ, wx , w y,α ) – однозначно определяются значе-

ниями независимых переменных, если заданы условия однозначности;

128

∙постоянные величины ( α,ν,λ,Jc, wж,Tж,g,β,lo ) – задаются условиями од-

нозначности и для каждой задачи они постоянны, не зависят от других переменных.

Искомыми величинами являются α,ϑ, wx , wy , они зависят от постоян-

ных и независимых переменных.

Все эти величины можно сгруппировать в безразмерные комплексы.

Число их будет меньше, чем число размерных величин.

Выберем масштабы приведения. В качестве их используют величи-

ны, входящие в условия однозначности: lo ,ϑc, wж :

129

Граничные условия с учётом (16.24) – (16.28) принимают вид:

130

Система уравнений (16.13) – (16.16) окончательно принимает вид:

Уравнения представляют собой систему безразмерных дифферен-

циальных уравнений и безразмерных условий однозначности и являются математической формулировкой задачи в безразмерных переменных.

Здесь независимые переменные X, Y; зависимые переменные Nu, Θ, Wx, Wy; постоянные Pe, Re, Gr – они также заданы условиями однозначности.

Для искомых величин:

Уравнения (16.42) – (16.45) – это уравнения подобия (число подобия Нуссельта определяется только для стенки при Xc, Yc).

131