Курс лекций по ТМО_ Абузова Ф[1].Ф

Рассмотрим возможности упрощения системы уравнений (14.1) – (14.3) и наметим границы справедливости упрощённой записи.

Ввиду малости толщины пограничного слоя δг принимаем, что попе-

∂p

речное давление не изменяется: ∂y =0 . При постоянстве скоростей во

ρ w2

внешнем течении wж из уравнения Бернулли p + ж =const следует, что

2

∂p

во внешнем потоке не изменяется и давление: ∂x =0 , т.е. имеем безгра-

ваемом случае равна нулю в области пограничного слоя.

Скорость wx изменяется от 0 до wж, порядок величины оценим как wж.

Для продольной координаты возьмём масштаб l, тогда

где Ο – обозначение порядка данной величины.

113

Из оценки следует, что порядок отдельных слагаемых инерционной

производной можно пренебречь. Тогда уравнение движения в проекциях на ось OX (14.1) может быть записано

Ον wж . Приравнивая левую и правую части, получаем:

δ2г

114

Если Re 1, то δг 1 и δг l . В этом случае по сути дела нет раз- l

деления потока на две области, всё пространство жидкости у тела охваче-

но действием сил вязкости.

Если Re 1, то δг l , т.е. у поверхности тела образуется сравни-

тельно тонкий слой подторможенной жидкости, для которого в первом приближении справедливы сделанные нами упрощения.

Таким образом, теория пограничного слоя представляет собой

метод упрощения математической формулировки краевой задачи и

связанной с этим возможности решения.

Таким образом, члены уравнения движения в проекциях на ось OY

малы по сравнению с членами уравнения (14.1). Для пограничного слоя можно опустить уравнение (14.2). Тогда для плоского безградиентного стационарного течения вязкой жидкости в пограничном слое у плоской по-

верхности имеем:

115

Здесь две зависимые переменные wx и wy. Правую часть уравнения

1 ∂S

(14.15) можно записать в виде ρ ∂y , где S – напряжение трения в плоско-

сти, параллельной плоскости XZ.

Лекция 15

Упростим уравнение энергии (5.18) – (5.19) для плоской стационар-

ной задачи конвективного теплообмена, рассмотрев тепловой погранич-

ный слой (рисунок 5.3). Все изменения температуры сосредоточены в тон-

ком слое, непосредственно прилегающем к поверхности тела. Внутри слоя

В общем случае δò ≠ δã. Будем полагать, что δò =Ο(δã). Ввиду мало-

сти толщины δт можно пренебречь теплопроводностью вдоль оси слоя по

Система дифференциальных уравнений в ламинарном пограничном слое (14.15), (14.16), (15.1) получена для стационарного безградиентного омывания плоской поверхности жидкостью с постоянными физическими свойствами; в жидкости отсутствуют внутренние источники теплоты, выде-

ление теплоты трения пренебрежимо мало. Заметим, что при принятых здесь условиях поле скоростей не зависит от поля температур.

116

t = f (y)

w = f (y)

Рис. 15.1. Гидродинамический и тепловой пограничные слои при свободном движении

При свободном тепловом движении wж =0 , в дифференциальном

уравнении движения (14.15) должен быть учтён член g β ϑ . В этом случае

поле скоростей неразрывно связано с полем температур (теплообменом).

Система уравнений турбулентного пограничного слоя

Турбулентное течение существенно отличается от ламинарного. При ламинарном – любые явления могут быть однозначно описаны замкнутой системой дифференциальных уравнений и краевых условий. Задача зна-

чительно осложняется в случае турбулентного режима. Турбулентный по-

ток характеризуется неупорядоченностью, которая приводит к случайному изменению во времени и в пространстве мгновенных значений скорости,

температуры, давления, концентраций и т.д. Отдельные частицы (комочки)

движутся в турбулентном потоке со своими скоростями, отличными по значению и направлению. Турбулентное течение, строго говоря, является нестационарным процессом, однако если осреднённые во времени вели-

чины (скорости, концентрации, температуры и т.д.) не изменяются, то та-

кой процесс можно рассматривать как условно стационарный (квазиста-

ционарный). При этом интервал времени осреднения должен быть доста-

точно большим по сравнению с периодом пульсаций, но в то же время достаточно малым по сравнению с каким-либо характерным для осред-

нённого движения интервалом времени, чтобы учесть возможные измене-

117

ния средних величин (скорости, температуры и т.д.) во времени. Дальше полагается, что средние значения актуальных величин w, t, mi получены как среднеинтегральные. Полагают, что выведенные ранее дифференци-

альные уравнения конвективного теплообмена справедливы для отдель-

ных струек пульсационного движения. Эти уравнения можно записать в

реднённые значения температуры, скорости, концентрации.

Произведя некоторые преобразования и выдвинув гипотезы, можно

получить систему дифференциальных уравнений, описывающих в первом приближении осреднённое турбулентное течение и тепломассообмен. В

достаточно строгой постановке этот вопрос до конца не разрешен.

Рассмотрим качественную сторону явлений переноса в турбулентном потоке. Вводится понятие длины пути смешения – l′. Аналогично про-

стейшим представлениям о молекулярном движении объём жидкости как бы перемещается на расстояние l′, при этом вместе с массой жидкости переносится, в частности, энтальпия. Это условная аналогия между моле-

кулярным и турбулентный переносом. Её достоинство – в наглядности. На длине l′ пульсация не распадается. Можно говорить о вероятностном (ста-

тистическом) значении l′.

Использовав свойства среднеинтегрального осреднения и проанали-

зировав турбулентный перенос теплоты и количества движения, в предпо-

ложении, что осреднённые значения скорости и температуры изменяются только в направлении OY (рис. 5.2 и 5.3), получают, что плотность тепло-

∂t

вого потока при турбулентном переносе пропорциональна ∂y , а напряже-

∂wx

ние трения пропорционально ∂y :

118

где λò и µò – коэффициенты турбулентного переноса теплоты и количе-

ства движения;

переноса теплоты и количества движения.

Размерности λт, µт, εq, εs соответствуют размерностям аналогичных коэффициентов λ, µ, a, ν, учитывающих молекулярный перенос теплоты и количества движения.

Коэффициенты λт и µт не являются физическими параметрами сре-

ды. Они зависят, как это следует из уравнений (15.2), от параметров про-

цесса и, следовательно, могут изменяться в рассматриваемом простран-

стве.

Теплота и количество движения в направлении оси ОY (рис. 5.2 и 5.3)

переносятся также и молекулярным механизмом. Поэтому:

слоя на пластине (с учётом ряда ограничений) уравнение энергии, движе-

ния, и сплошности могут быть записаны в следующем виде (уравнения ти-

па Рейнольдса):

119

В уравнениях (15.6) – (15.8) учтено, что турбулентный перенос в на-

правлении оси OX много меньше турбулентного переноса в направлении

оси OY, т.к. δг l и δт l , где l – длина пластин.

Полагают, что µт и λт зависят от тех же факторов (переменных), от которых зависят поля осреднённых величин (скорости и температуры).

Для замыкания системы дифференциальных уравнений необходимо до-

бавить уравнения, характеризующие связь µт и λт с этими переменными.

Предложено много способов, позволяющих в первом приближении замкнуть систему дифференциальных уравнений для турбулентного тече-

ния. Простейшими являются формулы, предложенные Л. Прандтлем, в ко-

торых l1 = lнт :

где l1 – масштаб турбулентности, он пропорционален l′.

Полагают, что l1 характеризует внутреннюю геометрическую структу-

ру турбулентного потока, некоторый средний размер турбулентно пере-

мещающихся масс жидкости.

В пристенной области турбулентного течения масштаб турбулентно-

сти (как и турбулентный перенос количества движения и теплоты) должен уменьшаться по мере приближения к стенке из-за воздействия последней.

Согласно Л. Прандтлю:

120

Измерения и расчёты показывают, что в пристенной области турбу-

лентного течения (но в области, где молекулярным трением можно пре-

небречь) безразмерную величину κ можно считать равной 0,4.

Таким образом, в первом приближении задачи замкнута, значения εs

и εq (или µт и λт) определены. Из сравнения формул (15.2), (15.3), (15.9),

(15.10) получаем

Формула (15.12) показывает, что существует аналогия между пере-

носом количества движения и переносом теплоты. Формальная аналогия,

следующая из (15.12), отражает концепцию, согласно которой одни и те же объёмы жидкости, участвуя в пульсационном движении, переносят одно-

временно количество движения и теплоту и не взаимодействуют на пути l′

с окружающей средой. На самом деле при переносе, например, теплоты может происходить теплообмен. Пульсационный перенос количества дви-

жения может быть связан с диссипацией механической энергии из-за вяз-

кости жидкости. Всё это заставляет вносить коррективы в ранее описан-

ную теорию, в частности, вводить для описания переноса количества дви-

жения и теплоты различные значения l1.

Для углубления знаний в области турбулентного переноса вещества можно воспользоваться источниками [6 – 9].

Несмотря на определенную незавершённость описанной здесь тео-

рии, она может дать приемлемые для практики результаты.

В тех случаях, когда нельзя получить приближённое теоретическое решение, используют теорию подобия и метод размерностей для получе-

ния уравнений безразмерного вида. В результате же экспериментальных исследований определяют количественную связь между числами подобия,

входящими в эти уравнения.

121