Уравнения Лагранжа и Клеро
Уравнение Лагранжа. Уравнением Лагранжа называется уравнение вида
,
(6.4.16)
т.е. линейное относительно x и y с коэффициентами, зависящими от y|, причем коэффициент при x не равен y|.
Для интегрирования уравнения Лагранжа воспользуемся параметрическим методом. Полагая y|=p, перепишем уравнение (6.4.16) в виде
.
(6.4.17)
Дифференцируя по x, имеем
,
откуда
после замены y|
на p,
умножения на
и соответствующих алгебраических
преобразований [в частности, деления
обеих частей уравнения на
]
получим
.
(6.4.18)
Это
уравнение является линейным относительно
функции x
и производной
.
Его общее решение имеет вид
x=F(p,C). (6.4.19)
Подставляя найденное для x выражение в соотношение (6.4.16), получим
.
(6.4.20)
Соотношения (6.4.19) и (6.4.20) дают общее решение уравнения Лагранжа в параметрической форме:
Заметим,
что если уравнение
=0
имеет действительные корни, то подставляя
эти корни в уравнение (6.4.17), мы также
получим решения уравнения Лагранжа,
которые могут оказаться как ч а с т н ы
м и, так и о с о б ы м и. (Решение, в каждой
точке которого нарушается единственность
решения задачи Коши, называется особым
решением.)
Уравнение Клеро. Уравнением Клеро называется уравнение вида
,
(6.4.21)
т.е.
частный случай уравнения Лагранжа,
когда
.
Положим y|=p, тогда
.
(6.4.22)
Дифференцируя по x, имеем
Последнее уравнение распадается на два:
(6.4.23)
Из
уравнения
следует,
что p=C.
Подставляя это
выражение
в равенство (6.4.21), получим общее
решение уравнения Клеро:
(6.4.24)
Формально общее решение получается из уравнения (6.4.21) заменой y| на C.
Уравнение Клеро имеет особое решение, получающееся в результате исключения параметра C из системы уравнений
(6.4.25)
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Уравнение вида
y(n)=f(x) (6.4.26)
решается последовательным n-кратным интегрированием. При каждом интегрировании получается одна произвольная постоянная, а в окончательном результате – n произвольных постоянных.
Уравнение второго порядка, не содержащее искомой функции, т.е. уравнение вида
F(x,y|,y||)=0, (6.4.27)
при
помощи подстановки y|=p(x)
(откуда
)
преобразуется в уравнение первого
порядка
Уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной, т.е. уравнение вида
F(y,y|,y||)=0, (6.4.28)
при
помощи подстановки y|=p(y)
(откуда
)
сводится к уравнению первого порядка
