Сводка теорем алгебры кортежей

В обозначениях АК-объектов в качестве разделителей обозначений компонент используются пробелы.

C-кортеж – это n-местное отношение, равное ДП содержащихся в нем компонент, которые записаны в виде n-местного кортежа, ограниченного квадратными скобками.

Например, АК-объект R[XYZ] = [A B] – это C-кортеж, причем A X, B Z, а компонента « » равна домену соответствующего атрибута (в данном случае, поскольку « » находится на второй позиции, то в соответствии со схемой отношения = Y). Этот C-кортеж можно преобразовать в обычное трехместное отношение с помощью ДП следующим образом:

R[XYZ] = A Y B.

C-система – это отношение, равное объединению однотипных C-кортежей, которые записываются в виде строк матрицы, ограниченной квадратными скобками.

Данная C-система преобразуется в обычное отношение с помощью ДП следующим образом:

Q[XYZ] = (A1 Y A3) (B1 B2 Z).

Диагональная C-система – это C-система размерности n n, у которой все недиагональные компоненты – полные ( ).

Необходимость диагональной C-системы в АК обусловлена тем, что с ее помощью можно точно выразить дополнение C-кортежа.

В диагональной C-системе не обязательно, чтобы неполные компоненты были расположены в матрице строго по диагонали. Главное, чтобы в каждом столбце и в каждой строке содержалась единственная неполная компонента. Например,

D-кортеж – это отношение, равное диагональной C-системе и записанное как ограниченный перевернутыми квадратными скобками кортеж ее диагональных компонент.

D-система – это отношение, равное пересечению однотипных D-кортежей, записанное как ограниченная перевернутыми квадратными скобками матрица компонент, в строках которой расположены участвующие в операции D-кортежи.

Если считать, что компоненты АК-объектов представляют одноместные предикаты Pk(xi), у которых переменные xi соответствуют определенным атрибутам, то C-кортежи являются интерпретацией конъюнкции одноместных предикатов с разными переменными, а D-кортежи – интерпретацией дизъюнкции одноместных предикатов с разными

переменными. Соответственно C-системы – это интерпретации ДНФ, а D-системы это интерпретации КНФ. Все АК-объекты также являются интерпретацией предикатов.

3.Операции с атрибутами в АК

САК-объектами, используя указанные ниже теоремы, можно выполнять обычные

операции алгебры множеств: пересечение ( ), объединение ( ) и дополнение (Ri ), а

также выполнять проверки соотношений включения или равенства..

Чтобы выполнять операции и проверки с АК-объектами, имеющими разные схемы отношения, а также cделать возможной интерпретацию формул с кванторами, требуются помимо операций алгебры множеств операции с атрибутами. Перечислим основные.

Добавление фиктивного атрибута (+X) – операция, при которой в схему отношения АК-объекта добавляется новый атрибут X, а в матрицу на соответствующем месте вставляется столбец с фиктивными компонентами. При этом в C-кортежи и в C-системы добавляются фиктивные компоненты " ", а в D-кортежи и в D-системы – фиктивные компоненты " ".

Эта операция позволяет решить задачу сопряжения АК-объектов с разными схемами отношения за счет того, что разнотипные АК-объекты при добавлении недостающих фиктивных атрибутов без потери смысла преобразуются в однотипные АК-объекты.

Рассмотрим пример. Пусть задана C-система

Операция +X является интерпретацией правила обобщения (Gen), которое в исчислении предикатов определяется так:

Gen: из формулы A выводима формула x(A).

Однако в операции +X неявно содержится условие, которое отсутствует при определениях правила Gen во многих учебных пособиях по математической логике:

из формулы A выводима формула x(A) при условии, что в формуле A нет свободных вхождений переменной x.

Воперации +X это условие проявляется в том, операция выполняется только тогда, когда в преобразуемом АК-объекте отсутствует атрибут X.

Элиминация атрибута (–X) – это операция, при которой из схемы отношения АК-объекта удаляется атрибут X, а из матричного представления – соответствующий этому атрибуту столбец.

Вотличие от операции +X элиминация атрибута существенно изменяет смысл АК-объекта. Подробнее об этом в Теоремах 31 и 32.

Проекция АК-объекта – результат выполнения одной или нескольких операций элиминации атрибута (–X) при условии, что АК-объект задан как C-кортеж или C-система (алгоритмы преобразования D-кортежей или D-систем в C-системы сформулированы в Теоремах 23, 25 и 27).

4. Обобщенные операции и соотношения

Обобщенными операциями G и G в АК называются операции пересечения ( ) и

объединения ( ) произвольных АК-объектов с предварительным приведением их к единой схеме отношения за счет добавления недостающих фиктивных атрибутов.

Например, пусть заданы C-системы

Тогда Q[X1 X2 X3] = Q1[X1 X2] G Q2[X2 X3] = +X3(Q1[X1 X2]) +X1(Q2[X2 X3]) =

включения и равенства произвольных АК-объектов, перед проверкой которых АК-объекты приводятся к единой схеме отношения за счет добавления недостающих фиктивных атрибутов.

5.Теоремы алгебры кортежей

Вформулировках теорем схемы отношений в обозначениях АК-объектов не указаны, так как речь в них идет об однотипных отношениях.

Теорема 1 (проверка включения C-кортежей). Пусть даны два однотипных

C-кортежа P = [P1 P2 … PN] и Q = [Q1 Q2 … QN]. Тогда P Q, если и только если Pi Qi верно для всех соответствующих пар компонент сравниваемых C-кортежей.

1)P Q или Q P;

2)для всех пар Pi и Qi выполняется Pi = Qi, за исключением одной пары.

Теорема 6 (объединение C-систем). Объединение однотипных C-систем есть C-система, в которую включены все C-кортежи объединяемых C-систем.

Теорема 7 (пересечение C-кортежа и C-системы). Пусть даны однотипные C-кортеж P и C-система Q. Результатом их пересечения будет C-система, содержащая все непустые пересечения C-кортежа P с каждым C-кортежем из Q.

Теорема 8 (пересечение двух C-систем). Пусть даны однотипные C-системы P и Q. Результатом их пересечения будет C-система, содержащая все непустые пересечения каждого C-кортежа из P с каждым C-кортежем из Q.

Теорема 9. Дополнение C-кортежа P = [P1 P2 ... Pn-1 Pn] есть диагональная C-система

Q = [Q1 Q2 ... Qn ].

Теорема 11. Дополнение C-системы есть D-система той же размерности, все компоненты которой равны дополнениям соответствующих компонент исходной C-системы.

Теорема 12. Дополнение D-системы есть C-система той же размерности, все компоненты которой равны дополнениям соответствующих компонент исходной D-системы.

Теорема 13. Дополнение C-кортежа P = [ … Pi … ] с единственной (i-ой) неполной компонентой равно C-кортежу PC = [ … Pi … ] с единственной неполной

компонентой Pi .

Теорема 14 (объединение однотипных D-кортежей). Пусть даны два однотипных D-кортежа P = ]P1 P2 … PN[ и Q = ]Q1 Q2 … QN[. Тогда

P Q = ]P1 Q1 P2 Q2 … PN QN[.

Теорема 15 (равное универсуму объединение однотипных D-кортежей). Пусть даны два однотипных D-кортежа P = ]P1 P2 … PN[ и Q = ]Q1 Q2 … QN[, и существует, по крайней мере, одна пара Pi и Qi компонент, для которых Pi Qi = . Тогда P Q равно универсуму.

Теорема 16 (пересечение однотипных D-кортежей). Пусть даны два однотипных D-кортежа P = ]P1 P2 … PN[ и Q = ]Q1 Q2 … QN[. Тогда

]P1 Q1 P2 Q2 … PN QN[ P Q.

Теорема 17 (проверка включения однотипных D-кортежей). Пусть даны два

однотипных D-кортежа P = ]P1 P2 … Pn[ и Q = ]Q1 Q2 … Qn[. Тогда P Q, если и только если соблюдается Pi Qi для всех соответствующих пар компонент сравниваемых D-кортежей.

Теорема 18. Для однотипных D-кортежей P = ]P1 P2 … PN[ и Q = ]Q1 Q2 … QN[ равенство P Q = ]P1 Q1 P2 Q2 PN QN[ соблюдается в следующих двух случаях:

1)P Q или Q P;

2)для всех пар Pi и Qi, за исключением одной пары, имеет место Pi = Qi.

Теорема 19 (пересечение D-систем). Пересечение однотипных D-систем равно D-системе, строки которой составлены из всех D-кортежей исходных D-систем.

Теорема 20 (проверка включения C-кортежа в однотипный D-кортеж). Для

C-кортежа P = [P1 P2 … PN] и D-кортежа Q = ]Q1 Q2 … QN[ справедливо P Q, если и только если по крайней мере для одного i соблюдается Pi Qi.

Теорема 21 (проверка включения C-кортежа в однотипную D-систему). Для C-кортежа P и D-системы Q справедливо P Q, если и только если для каждого D-кортежа Qj из Q выполняется P Qj.

Теорема 22 (проверка включения C-системы в однотипную D-систему). Для C- системы P и D-системы Q справедливо P Q, если и только если каждый C-кортеж из P включен в каждый D-кортеж из Q.

Теорема 23 (преобразование D-кортежа в C-систему). Каждый D-кортеж

Теорема 24 (преобразование C-кортежа в D-систему). Каждый C-кортеж P = [P1 P2 … Pn] эквивалентен диагональной D-системе

Теорема 25 (преобразование D-системы в C-систему). D-система P, содержащая M D-кортежей, эквивалентна C-системе, которая является пересечением всех C-систем, полученных с помощью преобразования каждого D-кортежа из P в диагональную C-систему.

Теорема 26 (преобразование C-системы в D-систему) C-система P, содержащая M C-кортежей, эквивалентна D-системе, которая является объединением всех D-систем,

D-кортеж или D-систему соответствует тому, что в эквивалентные им C-системы добавляется фиктивный атрибут с полными компонентами.

Теорема 29. Алгебра кортежей с обобщенными операциями G , G и отношениямиG , G , G изоморфна алгебре множеств и является полной алгебраической системой

(«полная» в данном случае означает, что в АК выполняются операции и проверки со всеми АК-объектами независимо от их типов и схемы отношения).

Теорема 30 (интерпретация правила обобщения). Если логической формуле P, не содержащей свободной переменной x, соответствует АК-объект Q, в схеме отношения которого нет атрибута X, то АК-объект +X(Q) соответствует логической формуле x(P).

Тогда C-система –X(Q) есть интерпретация логической формулы x(P).

Теорема 32 (интерпретация «навешивания» квантора ). Пусть интерпретацией

Тогда D-система –X(Q) есть интерпретация логической формулы x(P).

Теорема 33. Если АК-объекты SA и SB – интерпретации логических формул A и B, то общезначимость импликации A B равносильна соотношению SA G SB.

Теорема 34. Пусть посылки рассуждения выражены АК-объектами A1, ..., An и задан АК-объект B. Тогда B есть следствие A1, ..., An тогда и только тогда, когда

A1 G ... G An G B = .

Теорема 35. Пусть посылки рассуждения выражены АК-объектами A1, ..., An и задан АК-объект B. Тогда B есть следствие A1, ..., An тогда и только тогда, когда

(A1 G ... G An) G B.

Примечание. Теоремы 33, 34 и 35 – это интерпретации частного случая Теоремы дедукции в математической логике.