Введение

Цель курсовой работы – практическое освоение методов анализа искажений электрических сигналов, проходящих через линейные активные RC-цепи, а также рассмотрение вопросов проектирования активных RC-цепей по заданным передаточным функциям и оценки чувствительности цепей к изменению их параметров.

Нормирование параметров и переменных цепи

В курсовой работе все расчёты выполняются с использованием нормированных коэффициентов передаточных функций и параметров цепи. Такой подход позволяет упростить математические вычисления и получить универсальные результаты, которые можно адаптировать к любым реальным значениям. Для этого достаточно подставить конкретные базисные параметры, что в дальнейшем облегчит подбор необходимых значений компонентов активной RC-цепи.

Нормирование параметров для дальнейшего их использования при расчетах с использованием следующих формул:

. .

Для удобства пользования переменными в дальнейшем все нормированные переменные будут писаться без знака *.

Определение передаточной функции

Передаточной функцией цепи называют отношение преобразованного сигнала реакции (выхода) к преобразованному сигналу воздействия (входу) при условии, что все независимые начальные условия в цепи равны нулю.

Запишем передаточную функцию по напряжению активной RC-цепи с заданными коэффициентами: , где s – переменная Лапласа.

Рассчитаем нули и полюсы заданной передаточной функции. Нулями в передаточной характеристике являются корни числителя, полюсами – корни знаменателя. Также знаменатель является характеристическим полиномом.

Изобразим координаты вычисленных нулей и полюсов на комплексной плоскости:

Рисунок 3. Нули и полюса ПФ на комплексной плоскости.

Корни ХП находятся в левой части комплексной плоскости, что характеризует систему как устойчивую затухающую.

Найдём приблизительную длительность свободного процесса (мс):

Нахождение изображения входного одиночного импульса операторным методом

Исследуемый одиночный сигнал-меандр (Рис.2) представим в виде функции u₁(t) с заданной амплитудой U_imp = 2 и временем импульса t_imp = 4:

Запишем изображение входного одиночного сигнала U₁(s) по Лапласу:

Найдем вначале составляющую реакции на первую составляющую воздействия. Изображение несмещённой составляющей воздействия U₁₁(s):

Изображение составляющей реакции на это воздействие U₂₁(s):

Решение несмещенной составляющей реакции u₂(t) в t-области может быть найдено по теореме разложения в следующем виде:

Или по обратному преобразованию Лапласа:

Полученное вещественное значение показателя экспоненты соответствует ранее рассчитанной характеристике цепи (ХП), что подтверждает корректность проведённых вычислений.

Входной сигнал u1​(t) в общем виде и выходная реакция uR​(t) в временной области имеют следующий вид:

Рисунок 4. Входное воздействие и реакция на выходе цепи в t-области

Оценка длительности переходного процесса (убывает до <1,8%): t = 4τ = 9,41, где τ = 2,35 (исходя из степени экспоненты реакции).

Переходная и импульсная характеристики

Вычислим переходную и импульсную характеристики:

Выполним проверку найденных значений:

Значения импульсной характеристики и проверка.

Теорема о начальном значении:

h(0) = ∞ (импульсная функция h(t) при t = 0 равна ∞)

Теорема о конечном значении:

h(∞) = 0

Значения передаточной характеристики и проверка.

Теорема о начальном значении:

Теорема о конечном значении:

Построим график переходной и импульсной характеристик:

Рисунок 5. График h(t) и h₁(t)

Если умножить импульсную характеристику h₁​(t) на амплитуду входного сигнала (равную 2), то рассчитанные выходные значения будут совпадать с u₂​(t) на интервале от t=0 до t=2. Это объясняется тем, что при t=2 в цепи включается воздействие функции Хевисайда, изменяющее характер реакции. В противном случае наблюдалось бы стандартное экспоненциальное затухание, определяемое фазовой составляющей h₁​(t).