Спектральный анализ входного одиночного сигнала

Определим спектральные характеристики одиночного входного сигнала:

Представим входной сигнал в экспоненциальной форме:

Тогда комплексный спектр сигнала будет выглядеть так:

Тогда амплитудный спектр сигнала будет иметь следующий вид:

Рисунок 6. Амплитудный спектр входного одиночного сигнала

Фазовый спектр соответственно:

Рисунок 7. Фазовый спектр входного одиночного сигнала

Определим полосу пропускания цепи.

Рисунок 8. Определение полосы пропускания цепи

Максимум амплитуды ≈ 2,93. «-3 дБ уровень» = ≈ 2,07. Вертикальные линии отмечают, где спектр пересекает этот уровень: слева: ω₁ = 1,11; справа: ω₂ = 3,67. ∆ω = ω₂ – ω₁ = 3,67 – 1,11 = 2,56 – полоса пропускания. Коэффициент искажения .

Оценим время запаздывания сигналов, спектр которых попадает в полосу пропускания.

Рисунок 9. Определение времени запаздывания сигналов

Формула времени запаздывания:

Построим график амплитудно-фазовой характеристики.

Рисунок 10. График амплитудно-фазовой характеристики

Амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала

Найдём амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала.

Комплексный спектр сигнала будет выглядеть так:

Листинг 1. Вид U_R(jω) в MathCad

Амплитудный спектр сигнала будет иметь следующий вид:

Листинг 2. Вид амплитудного спектра сигнала U_R(jω) в MathCad

Рисунок 11. Амплитудный спектр выходного одиночного сигнала

Фазовый спектр соответственно:

Листинг 3. Вид фазового спектра сигнала U_R(jω) в MathCad

Рисунок 12. Фазовый спектр выходного одиночного сигнала

Амплитудный и фазовый спектры периодического входного сигнала

Определим амплитудный и фазовый спектры периодического входного сигнала. По условию, период сигнала равен удвоенному времени импульса Т = 4.

Рисунок 13. Графики исходного входного периодического сигнала

и сигнала, представленного рядом Фурье

Периодический сигнал можно представить в виде экспоненциальной формы ряда Фурье: где ​  — циклическая частота сигнала, C_k​ — комплексные коэффициенты Фурье, вычисляемые по формуле , а также постоянную состовляющую С₀ = 0.

Сигнала m1(t), который принимает значения 2, 0 и -2 на разных интервалах, интеграл разбивается на соответствующие участки:

Для АЧХ: (для четных: 0 или 1; для нечетных: );

Для ФЧХ: .

Листинг 4. Первые 9 гармоник ряда Фурье входного периодического сигнала

Рисунок 14. Амплитудный дискретный спектр входного периодического сигнала (10 гармоник)

Рисунок 15. Фазовый дискретный спектр входного периодического сигнала

Рисунок 16. Входной сигнал, полученный из разложения ряда Фурье

Приближенный расчет реакции цепи по спектру при периодическом воздействии

Произведем приближенный расчет реакции цепи по спектру при периодическом воздействии. Для этого следует перемножить каждую гармонику C_k разложенного входного периодического сигнала в ряд Фурье на передаточную функцию цепи H(jω), а затем суммировать преобразованные гармоники для получения выходного сигнала.

Частота первой гармоники: ;

Коэффициенты Фурье для меандра: ;

Передаточная функция: ;

Выходной спектр получается умножением каждой гармоники входного сигнала на передаточную функцию: ;

Формулы для амплитуды и фазы выходного сигнала:

;

Выходной сигнал можно приближенно записать как сумму гармоник:

или как в вещественной форме: .

Листинг 5. Первые 9 гармоник ряда Фурье выходного периодического сигнала

Рисунок 17. Амплитудный дискретный спектр выходного периодического сигнала

Рисунок 18. Фазовый спектр выходного периодического сигнала.

Рисунок 19. Выходной сигнал, полученный из разложения ряда Фурье