Синергетика_Глава_3_03_Численное_решение_модели_Брюсселятора

X1

A B 1 X1 X12 X 2 D1 X1 ; (NBR.1)

t

X 2

BX

1

X 2 X

2

D X

2

.

(NBR.2)

t

1

2

Параметры A, B 0 – безразмерные

постоянные

концентрации

решения

модели

Брюсселятора

на

двумерной

квадратной

плоскости

x, y

, где

безразмерные переменные

x, y ограничены размером

L :

0 x L ;

0 y L .

В

таком случае искомые

величины

X1 ,t

и

X 2 ,t

зависят

от

двумерного

радиус вектора

x; y

Двумерный

2

2

лапласиан

по

безразмерным переменным

имеет

вид:

.

В

x2

y2

уравнении

входит безразмерное время t и

безразмерные положительные

коэффициенты диффузии

D1, D2 0 . Краевым условием является условие

непроницаемости границ, означающее то, что через границу

области

нет потоков частиц, связанных как с

концентрацией

X1 ,t ,

так и

с

концентрацией

X 2 ,t . Условие

непроницаемости границ области

можно записать в виде:

X1 0 ;

X 2

0 ,

где

n −внешняя

нормаль к

n

n

переменных X1 ,t и X 2 ,t

не зависят

от

времени и одинаковы в

каждой точке пространства. Для

нахождения

однородного стационарного

состояния X1 s и X 2 s необходимо решить

два уравнения

A B 1 X1 s X12 s X 2 s 0;

(NBR.3)

BX1 s X12 s X 2 s 0 .

(NBR.4)

это решение в уравнение (NBR.3):

A

B 1 X1 s BX1 s 0 . Таким

образом стационарные

решения

X1 s

и X 2 s

выражаются через

константы модели брюсселятора

X1 s A;

(NBR.5)

X 2

s

B

.

(NBR.6)

A

Пространственно

однородное стационарное

состояние является

анализа

линеаризованной

системы

уравнений

(1).

Пусть

1

1

1

1

x

,t

x

exp

pt ik

и

x

,t

x exp

pt ik

– малые отклонения

от

пространственно

однородных

решений, где x1

и

x2

- постоянные

амплитуды.

Множитель

exp pt

характеризует поведение отклонения от

стационарного состояния во времени. Множитель exp

ik

характеризует

протяженности

2

.

Представим решения

модели брюсселятора в

k

виде

1

1

X

,t

A x exp

pt ik

;

(NBR.7)

2

B

2

X

,t

x

exp

pt ik

.

(NBR.8)

A

аргументы для малых величин x A ;

x

B

, и пренебрегая слагаемыми

1

2

A

второго

порядка

малости.

В

таком

случае

нелинейное слагаемое

2

2

B

2

B

2

X1 X 2 A x1

x2

A

2Ax1

x2

AB 2Bx1 A x2 .

A

A

x1 B 1 x1 A2 x2 D1 x1

t

x2 Bx A2 x D x

2

t

1

2

2

Учтем, что

x1,2 ,t

px1,2

,t ; а действие двумерного оператора Лапласа

t

,

подвергающего

своим

действием

только

exp

ik

, имеет

вид:

x1,2

,t k 2 x1,2 ,t . В слагаемых первого порядка, пропорциональных

1

2

x

и x

, будут присутствовать одинаковые множители

exp

pt ik

,

160

p 1 B k 2 D1 x1 A2 x2 0 ;

(NBR.9)

Bx1 p A2 k 2 D2 x2 0 .

(NBR.10)

определения параметра p с постоянными c и

d имеет вид

p2 cp d 0 ;

(NBR.11)

c A2 1 B D1 D2 k 2 ;

(NBR.12)

d A2 1 k 2 D1 1 B k 2 D2 D1D2k 4

(NBR.13)

Корни квадратного уравнения (NRB.11) имеют

вид

p

c

c2 4d

(NBR.14)

1,2

2

A2 1 B

2 B

2 B

A 1

A 1

p1,2

(NBR.15)

2

действительными

p p* ,

p

p* , либо комплексно сопряженными

1

1

2

2

161

p p* .

Согласно

второму

соотношению

теоремы

Виета

p p

c ,

2

1

1

2

причем c

-

вещественная

величина. Если корни квадратного уравнения –

вещественные

p p

,

p

p

,

p

p

c , то

Re p

c

.

max

1

min

2

max

min

max

2

Если

корни

квадратного

уравнения

комплексные,

то в

соотношении

p1 p2 c

сокращаются мнимые части, и снова получается соотношение

Re p

c

.

Следовательно, если

величина

c A2 1 B 0 , то реальная

2

часть

корней

квадратного

уравнения

отрицательна

Re p

c

0, что

2

является следующее соотношение между коэффициентами A и B

c 0

B Bc A2 1

(NBR.15)

D1 D2 0

для различных

значений постоянных A и B и различных

начальных условий X1 0 и X 2 (0) .

Если

B Bc A2 1,

то неподвижная точка представляет собой

Рис. NBR_1. Постоянные A 1,

B 1.9 для

X1 0 0.5 ,

X2 0 0.5,

B Bcr A2 1.

162

Рис. NBR_2. Постоянные

A 1,

B 1.9

для X1 0 3,

X 2 0 3.

B Bcr A2

1.

Если

B Bc A2 1,

то имеет место случай с предельным циклом,

независимо от начальных значений

X1 0 и

X 2 0 (рис. NBR_3-NBR_5).

Рис. NBR_3. Постоянные A 1,

B 2.5 для

X1 0 0.5 ,

X2 0 0.5,

B Bcr A2 1.

Рис. NBR_4. Постоянные A 1,

B 2.5 для

X1 0 1.1,

X2 0 2.4 ,

B Bcr A2 1.

Рис.

NBR_5. Постоянные A 1,

B 2.5 для

X1 0 4 ,

X 2 0 4 ,

B Bcr A2 1

На

рис. NBR_6-NBR_7 показано

существование

предельного

цикла для

Рис. NBR_6. Постоянные A 1,

B 4 для

X1 0 0.5 ,

X2 0 0.5,

B Bcr A2 1.

Рис. NBR_7. Постоянные A 1,

B 4

для

X1 0 1.1,

X2 0 3.9 ,

B Bcr A2 1 .

Таким образом, модель брюсселятора без

диффузии

D1 D2 0

в

случае B Bc A2 1 демонстрирует

автоколебательное

поведение

в

пространственно-однородном случае

протекания

химических реакций. Если

учитываются процессы диффузии D1, D2 0 , то

в этом случае необходимо

концентраций от координат и

времени X1 ,t , X 2 ,t . Устойчивость

таких решений будет проанализирована в следующем разделе.

3.3.3. Устойчивость модели Брюсселятора с двумя постоянными A и B

при учете диффузии двух компонент D1, D2 0

Простой анализ постоянной d

(NBR.13) показывает, что при увеличении

постоянной B 1 постоянная

d

d

0 может стать отрицательной.

165

pmax

c2 4

d

c

.

(NBR.14)

2

0 величина параметра pmax

Для отрицательного

значения d

d

становится положительной

pmax 0 .

Величина

pmax 0 ,

определяет

экспоненциальное

нарастание

флуктуации

во

времени

x1,2 ,t x1,2 exp pmaxt .

Критерий

pmax 0

означает

критерий

неустойчивости в распределенной модели

Брюсселятора.

Анализ условия

d

d

0

похож на

анализ,

выполненный

в

Главе

3,

параграф 2.

Минимальное значение

волнового вектора

k 2 min

A

.

Минимальная

D1D2

величина постоянной

Bmin ,

при которой

выполняется

неравенство

2

D

d

d

0

определяется из условия Bmin

1

A

1

. Таким образом,

D2

2

D

B Bmin 1

A

1

.

(NBR.15)

D2

Вычислим

значение

pmax для следующих значений

параметров: A 3,

D1 3; D2

10.

В

этом случае

Bmin 6.98 .

На рис. NBR_8 приведена

зависимости Re p

от величины

k для двух

случаев. В первом случае

B 6 (тонкая кривая,

В Bmin ; Re p max 0). При B 6

график

Re p k

лежит ниже нуля, что

указывает на устойчивость стационарного

состояния,

Брюсселятора B 8

(толстая кривая, В Bmin ). В определенном диапазоне

волновых векторов

k1 k k2

при B 8 рис. NBR_8 выполняется

неравенство Re p max 0.

Рис. NBR_8. Зависимость Re pmax (NMR.14)

от волнового вектора k

(NBR.12-NBR.14) Постоянные A 3, D1 3;

D2

10, Bcr 6.98 . Для

тонкой кривой B 6 Bcr , для толстой кривой

B 8

Bcr .

с пространственным периодом min

2

max

2

.

k2

k1

3.3.4. Численное решение модели Брюсселятора

Мы приведем результаты

численного

решения уравнения

для

моделирования

диффузионной

компоненты.

В

качестве

пространственной области был выбран квадрат со стороной

0 x, y L , где