Синергетика_Глава_3_02_Модель_Брюсселятора

3.2.Модель Брюсселятора

3.2.1История возникновения модели Брюсселятора

Зададимся вопросом: каким образом начальное, полностью

симметричное «однородное» состояние среды или какого физического поля становится неоднородным? Во многих случаях это происходит в результате спонтанного нарушения симметрии, при котором изменяется устойчивость стационарного состояния. Бифуркацию смены устойчивости удобно рассматривать на примере уравнений, описывающих химических реакций, к которых важную роль играют процессы диффузии.

Брюсселятор описывает простейшую химическую реакцию преобразования исходных веществ (субстратов) A и B в продукты C и D . Итоговую реакцию можно записать в виде A B C D . Некоторые такие реакции состоят из следующих стадий

A k1 X

2 X Y k2 3X

(BME.1).

B X k3 Y C

Xk4 D

Вэтой системе реакций важным является использование промежуточных

веществ X и Y , которые связаны между собой реакцией 2X Y k2 3X , обеспечивающей существование колебательного режима. Предположим, что продукты необратимо удаляются из сферы реакции, а субстраты находятся в избытке (cм статью А.И.Лаврова, Е.Б.Посников, Ю.М.Романовский, Брюсселятор – абстрактная химическая реакция? УФН, т.139, N12, 13271332, 2009). В этом случае для безразмерных концентраций веществ, вступающих в реакцию X1 r ,t и X 2 r,t можно написать систему

уравнений в частных производных, в которой участвуют две постоянные

система из двух нелинейных уравнений параболического типа имеет вид:

Заметим, что в уравнениях (BME.2), (BME.3) введено некоторое безразмерное время t . Оператор Лапласа также использует вторые производные по безразмерной координате r . Коэффициенты диффузии D1 и

D2 также не имеют размерности, так как все коэффициенты в уравнениях (BME.2), (BME.3) должны быть одинаковыми и не иметь размерности.

Модельная система двух уравнений в частных производных была впервые исследована научной группой И.Пригожина, которая находилась

вгороде Брюсселе. Такая широко известная система уравнений (BME.2), (BME.3) теперь называется моделью брюсселятора. Многочисленные режимы в двухкомпонентной системе базовой модели "брюсселятор" (Пригожин и Лефевр, 1968) в настоящее время хорошо изучены. В 1977 г. И.Пригожин получил Нобелевскую премию за работы по нелинейной термодинамике, в частности по теории диссипативных структур. Пригожин является автором и соавтором целого ряда книг: "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций", "Порядок из хаоса", "Стрела времени", и др., в которых он развивает математические, физико-химические, биологические и философские идеи теории самоорганизации в нелинейных системах, исследует причины и закономерности рождения "порядка из хаоса"

вбогатых энергией открытых для потоков вещества и энергии системах, далеких от термодинамического равновесия, под действием случайных флуктуаций.

Реакция, описываемая уравнениями (BME.2), (BME.3), возможна в реальных процессах с участием ферментов с двумя каталитическими центрами. Нелинейность этой реакции в сочетании с процессами диффузии вещества и обеспечивает возможность пространственно-временных режимов, в том числе образование пространственных структур в первоначально однородной системе.

3.2.2. Исследование устойчивости простейшей линеаризованной модели брюсселятора для случая A=1, B

Для анализа устойчивости модели брюсселятора рассмотрим вначале частый случай. Вместо двух постоянных констант A и B , участвующих в модели брюсселятора (BME.3), (BME.4), рассмотрим частный случай, когда

искомых величин X1 и X 2 , такую упрощенную модель брюсселятора можно записать в виде

151

рассмотрена нами в главе 1, параграф 2 формула (DSE.12). Учитывая стационарные решения:

Для исследования на устойчивость системы (BME.4) и (BME.5) достаточно ограничиться линейным приближением упрощенной системы двух уравнений брюсселятора

Решение этой системы уравнений ищем в виде:

152

решения это системы уравнений приводит к характеристическому уравнению для определения параметра p .

устойчива в пространственно однородном случае в отсутствие диффузии ( Re p 0 при D1 D2 0 ), то она будет и подавно устойчива при наличии диффузии. Дело в том что условие Re p 0 будет выполняться в

153

пространственно неоднородном случае из-за того, что диффузия уменьшает величину p на отрицательное слагаемое Dk 2 .

Если же коэффициенты диффузии различны D1 D2 , то устойчивое в пространственно однородном случае стационарное состояние может оказаться неустойчивым при учете диффузии одной из компонент. Рассмотрим эту ситуацию более подробно. Решение характеристического уравнения (BME.13 ) имеет вид:

Нас ниже будет интересовать случай λ<2. В этом случае, очевидно, что

положительный знак перед квадратным корнем, оказывается вещественным и

пространственно однородное решение при учете диффузии будет

BME_1.

Рис. BME_1. Граница области устойчивости.

Таким образом, если величина c min , то в системе возникает неустойчивость, при которой pmax 0 . Находя экстремум функции одной переменной, получаем, что минимальное значение волнового вектора kmin равняется

однородное состояние, устойчивое в отсутствие диффузии, становится неустойчивым при учете диффузии.

155

неоднородное распределение концентрации, что представляет собой создание некоторой пространственной структуры. Период такой структуры

уже говорили о том, что такая неустойчивость называется диффузионной или тьюринговской неустойчивостью, поскольку она возникает только при наличии диффузии. А.Тьюринг был первый, кто установил связь между спонтанным образованием неоднородных структур и механизмом морфогенеза в биологии. Достаточно упомянуть полосы на коже зебры (см. рисунки, представленные в Главе 3, параграф 1), шестиугольники у жирафа и пятна у леопарда.

3.2.3. Бистабильное поведение химических систем

Значительный интерес для биологии представляют химические системы с двумя и более устойчивыми состояниями (триггерные системы). Модели с несколькими устойчивыми состояниями важны для объяснения механизмов мышления (химические ячейки памяти, логические элементы), мембранных процессов, а также процесса дифференциации в теории происхождения видов. Мы проанализируем поведение бистабильной химической системы на примере простой системы с одной степенью свободы (реакция Шлеёгля):

A 2X k1 3X

k 1

X k2 F .

k 2

Если обозначить за C концентрацию элемента X, то для нее получим следующее уравнение

Эти превращения соответствуют автокаталитическому производству вещества X из исходного вещества A и последующему разложению в конечный продукт F. Концентрация исходного вещества и конечного продукта поддерживаются постоянными. С химической точки зрения реакция Шлеёгля является искусственной, так как соответствует процессу, в котором участвуют 3 молекулы. Обычно считается, что такие процессы происходят очень редко. Намного чаще имеют место бимолекулярные

156

процессы. Можно, однако, получить необходимый нам трехмолекулярный процесс из последовательных бимолекулярных процессов:

A X Y

Y X 3X

Если обозначить за C концентрацию элемента X, то для нее получим следующее уравнение

Стационарные состояния получаются как корни кубического уравнения

X X 2 X 3 , (BME.23)

в котором величины , , X 0 . Это уравнение в зависимости от параметров β и γ может иметь либо один, либо три действительных корня рис. BME_2.

Рис. BME_2. Зависимость правой части уравнения (BME.22) от X.

Таким образом, можно провести тесную аналогию между этой химической реакцией и фазовым переходом I рода, в частности, с уравнением состояния реального газа, уравнением Ван-дер-Ваальса. Двум фазам соответствует в бистабильном режиме стационарные устойчивые состояния X (1) и X (2) .

157