Синергетика_Глава_3_01_Синергетика_в_биологии_Модель_Тьюринга

Глава 3. Синергетика в биологии

3.1. Пространственно-временные структуры в биологии

3.1.1. Разнообразие пространственно-временных структур в биологии и медицине

Изучая огромное количество явлений в биологии и медицине, мы с удивлением обнаруживаем огромное разнообразие различных форм окружающего нас мира. Нас поражает красота узоров крыльев бабочки, сложная геометрия различных форм, существующих на шкуре жирафа, странные формы колоний бактерий, хаотические волны электрической активности сердца, изменяющаяся морфология развития зародыша. Процесс формирования таких пространственных структур, изменяющих свою геометрию во времени, можно рассматривать как своеобразную «жизнь» некоторой динамической системы. При стремлении времени к бесконечному пределу может сложиться ситуация, когда такая динамическая система будет стремиться к некоторому аттрактору, который и определит конечную симметрию пространственных формы такого биологического объекта.

Рис. BRS_1. Полосатая структура на коже зебры.

Рис. BRS_2. Жираф и леопард.

140

Рис. BRS_3. Третий день развития эмбриона цыпленка. Начало кровообращения. Желтковая мембрана распространяется по поверхности желтка. Уже могут стать едва различимы голова, туловище и мозг. Формируется структура сердца, которое начинает биться. (рис. с сайта https://bagan.ru/articles/431337 )

Во многих процессах мы можем наблюдать переход из хаотического состояний, которое характеризуется нерегулярным в пространстве распределением каких-то полей, к появлению некоторых структур. В таком хаосе могут зарождаться некоторые паттерны, которые характеризуются новой симметрией по отношению к хаотическому состоянию. Под словом паттерн мы будем понимать некоторую структуру, узор или рисунок.

Механизмами образования таких паттернов занимается наука синергетика, которая изучает процессы появления новых структур в неравновесных процессах на основе принципа самоорганизации. Наука синергетика представляет собой некоторое междисциплинарное направление науки, которое объясняет образование и самоорганизацию моделей и структур в открытых системах, далеких от термодинамического равновесия. В многих случаях таким структурам свойственны бифуркационные переходы, при которых происходит взаимная трансформация таких структур, характеризующих различной симметрией.

Многие структуры в неживой природе (ячейки Бенара, неоднородности, возникающие в реакции Белоусова-Жаботинского и т.д) мы уже изучали в предыдущих параграфах нашего курса. Для живой природы мы разбирали модели хищник-жертва (модель Вольтерра-Лоттки), а также

141

нелинейное логистическое отображение. В моделях живой природы при различных значениях управляющих параметров мы также будем получать сложные пространственно-временные структуры. При определенных значениях управляющих параметров обнаружим в таких моделях явления хаоса.

Когда мы наблюдаем такие структуры в неживой и живой природе – для нас главный вопрос: почему эти структуры устойчивы, какие формы они принимают при различных начальных условиях, как изменится картина таких объектов при изменений начальных условий и какой симметрией можно описать такие структуры?

Биологические процессы, как и многие процессы в природе, протекают как в пространстве, так и во времени. Конечно, при построении математических моделей некоторых процессов можно ограничиться рассмотрением локальной точечной системой, предполагая, что процессы во всех других точках пространства протекают одинаково. Такой подход оправдан при рассмотрении однородных в пространстве объектов, таких как развитие микроорганизмов в непрерывном культиваторе полного перемешивания. Однако реальные системы, как правило, неоднородны в пространстве.

Для неоднородных систем становятся важны диффузионные потоки различных веществ, в результате которых система приобретает качественно новые свойства. Зачастую нужно учитывать то, что основные реакции происходят на границах, например на мембранах клеток или субклеточных органеллах. В многих случаях искомыми величинами являются X r ,t

концентрации веществ, которые зависят как от координаты r , так и от времени t . Такие модели называются распределенными (в пространстве). Если раньше мы задавали состояние системы при помощи конечного числа переменных, причем эволюцию системы во времени описывали системами обыкновенных дифференциальных уравнений, то в случае распределенных систем эволюция во времени будет описываться уравнениями в частных производных.

Известно, что в линейной физической системе процессы переноса – диффузия – приводят к выравниванию концентраций веществ во всем объеме. Однако все биологические системы являются неравновесными, а протекающие в них процессы – необратимыми процессами. Именно это позволяет живым системам использовать потоки вещества и энергии для построения и поддержания структурной и функциональной упорядоченности. Соответственно и математические модели биологических

142

систем должны быть существенно нелинейными моделями.

Как и в случае точечных систем, некоторую информацию о поведении нелинейной системы, в частности, о свойствах ее стационарных решений, можно получить, исследуя линеаризованную систему. При изучении свойств решений нелинейных распределенных систем особенно полезными оказались рассмотренные нами методы качественного анализа фазовой плоскости локальной системы и методы линеаризации, позволяющие учесть иерархию времен протекающих в системе процессов.

Все биологические системы, в частности, биологически активные мембраны и ткани, сообщества живых организмов относятся к классу активных распределенных систем, основные свойства которых следующие:

а) существует распределенный источник энергии или веществ, богатых энергией;

б) каждый элементарный объем среды находится в состоянии, далеком от термодинамического равновесия, т.е. является открытой термодинамической системой, в которой расходуется (диссипируется) часть энергии, поступающей из распределенного источника;

в) связь между соседними элементарными объемами осуществляется за счет процессов переноса.

Благодаря этим свойствам биологические системы обладают рядом нетривиальных типов поведения, составляющих сущность живых систем. Большое количество примеров приведено в книге Г.Ю.Ризниченко, Математические модели в биологии, издательство РХД, 2011 г., 560 с.

3.1.2.Проблема формообразования организмов. Модель Тьюринга

Модели морфогенеза

При развитии организма от оплодотворенной яйцеклетки до взрослой особи можно выделить несколько этапов, на которых происходит спонтанное нарушение симметрии. Первый из них – образование аксиальной оси, т.е. нарушение цилиндрической симметрии зародыша. На более поздних этапах происходит расчленение первоначально однородного отрезка (нарушение трансляционной симметрии). Например, при образовании позвоночника сначала возникает однородная в пространстве хорда, а затем – пространственная структура, которая определяет образование отдельных позвонков. Аналогично происходит образование пальцев на конечностях. Внешние факторы, способные привести к

143

нарушению симметрии, как правило, столь малы, что не могут рассматриваться как причина явления. Таким образом, способность нарушать симметрию является внутренним свойством развивающегося организма. Форма его предопределена (будь то конечная форма или одна из форм на промежуточном этапе развития), информация о ней уже имеется в геноме оплодотворенной яйцеклетки, т.е. информация о возникающей в организме структуре заключена в нем самом, а не приносится извне, поэтому ее можно назвать собственной структурой. Возникают вопросы: при каких условиях возможно образование собственных структур, как протекает процесс и как он регулируется.

Выдающийся вклад в теорию морфогенеза внес Алан Тью́ринг (Turing Alan Mathison, 1912-1954) — английский математик, логик, криптограф, изобретатель машины Тьюринга. Морфогенез представляет собой науку о возникновении органов, систем и частей человека как в индивидуальном развитии (онтогенез), так и в историческом или эволюционном развитии (филогенез).

BRS_4. Алан Мэтисон Тьюринг

Работа Алана Тьюринга, заложившая основу динамического подхода к моделированию распределенных биологических систем, называется

144

“Химические основы морфогенеза” (Turing, 1952). В ней впервые показана возможность существования в активной кинетической среде стационарных и неоднородных структур. Полученные в этой работе фундаментальные результаты легли в основу большого числа моделей морфогенеза, описывающих раскраску шкур животных (J.D.Murray, 1993; 2003; 2009), образование раковин (Meinhardt, 1995), морских звезд и других живых организмов.

Распространение волн возмущений

Одним из основных механизмов, с помощью которого передаются сигналы в живом организме, является распространение волн возбуждения. Волны возбуждения могут распространяться не только по нервным клеткам, но и по клеткам скелетной мускулатуры, кишечника, кровеносных сосудов, сердца. Распространяющаяся по мышечным клеткам волна возбуждения запускает биохимический сократительный аппарат. В мышце сердца и в гладкой мускулатуре кишечника волна возбуждения помимо электромеханического сопряжения обеспечивает синхронизацию сокращений отдельных мышечных волокон. Нарушение распространения волн возбуждения может приводить к различным серьезным заболеваниям: параличам, эпилепсии, сердечным аритмиям. Объяснению механизма сердечных аритмий при помощи аксиоматических моделей возбудимой среды была посвящена первая в этой области работа Н. Винера и А. Розенблюта (Wiener and Rosenblueth, 1946; перевод на русский: Винер и Розенблют, 1961).

Автоволновые процессы в химических и биохимических реакциях

Российским ученым Б.П. Белоусовым (Белоусов, 1959, 1981) был открыт класс химических реакций, позволяющих наблюдать на опыте практически все известные в настоящее время типы поведения распределенных систем. А.М. Жаботинский с сотрудниками подробно исследовали свойства этих реакций и условия их протекания, им также была предложена первая математическая модель наблюдаемого явления (Жаботинский, 1975). В дальнейшем реакцию Белоусова-Жаботинского (BZ-реакцию), как модель распределенной системы, демонстрирующей различные типы пространственновременной организации, исследовали в сотнях лабораторий мира (Field. and Burger, 1985; Филд и Бургер, 1988; Ванаг, 2008). Многие автоволновые процессы были обнаружены в таких биологических и медицинских объектах как: колонии бактерий и амеб, электрическая активность сердца и головного мозга.

145

Математическая модель Тьюринга

Исследование простейших моделей показало, что различные типы поведения активных распределенных систем могут быть описаны нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, где учитываются взаимное превращение компонент и их диффузия. При помощи одного уравнения нельзя описать сложное поведение переменных, поэтому основные результаты в исследовании свойств распределенных систем были получены на базовых моделях с двумя переменными. Новые подходы к изучению нелинейных открытых систем, процессов самоорганизации и морфогенеза, послужившие основой науки синергетики, были выдвинуты в работах А.Тьюринга и его последователей. А.Тьюринг был также первый, кто установил связь между спонтанным образованием неоднородных структур и механизмом морфогенеза в биологии. И действительно, такие структуры очень часто встречаются в живых организмах. Достаточно упомянуть полосы на коже зебры (см. рис. BSV_2), шестиугольники у жирафа и пятна у леопарда (смотри, например, прекрасный обзор A.J.Koch,

H.Meinhardt, Rev. Mod. Phys., 66, 1481, (1994), где можно найти много интересных примеров структур Тьюринга в биологии.

Тьюринг показал, что при определенных условиях даже два нелинейно взаимодействующих химических компонента могут генерировать неоднородные стационарные пространственные структуры, если один из компонентов (ингибитор) диффундирует значительно быстрее, чем другой (активатор). Этот результат является далеко не тривиальным, так как обычно считается, что диффузия выравнивает разницу концентраций, а не производит ее.

Получить ответ на вопрос, какая именно пространственная структура возникнет в результате развития неустойчивости, в линейном приближении нельзя. Для этого нужно решать нелинейные уравнения. Разумеется, пространственные структуры могут возникать и там, где неустойчиво (во времени) уже стационарное однородное состояние системы.

Первое лабораторное наблюдение структур Тьюринга (не осцилляторных) было проведено в 1989 г Используя хлористо-иодистую малоновую кислоту, авторы обнаружили образование стационарных полос и шестиугольников с характерной длиной волны порядка 0.2 мм. Во многих случаях наблюдавшиеся структуры оставались стабильными на протяжении 20 и более часов. Детальное описание этих и им подобных экспериментов дано в замечательной недавно вышедшей книге I.R.Epstein, J.A.Pojman, An Introduction to Nonlinear Chemical Dynamics, Oscillations, Waves, Patterns and Chaos, Oxford University-Press, New York, 1998..

Осциллирующие химические реакции и образование пространственных структур играют важную роль в биологии. Например, нелинейные эффекты

146

особенно ярко проявляются при изучении гликолиза. Под гликолизом понимают анаэробное превращение глюкозы в лактат, при котором процессы окисления углеводов происходят без участия кислорода. Биологическое значение этого процесса заключается в том, что выделяющееся тепло используется для поддержания теплового баланса в организме. При экспериментальном изучении процесса гликолиза многие исследователи наблюдали химические осцилляции в клетках и мышечных волокнах, в которых происходит процесс брожения. Гликолитический осциллятор, период колебаний которого около 1 минуты, действует за счет периодической активации и торможения фермента фосфофруктокиназы.

[V.Castets, E.Dulos, J.Boissonade, P.de Kepper, Phys.Rev.Lett., 64, 2953, 1990].

А.Тьюринг также впервые указал математические механизмы, по которым химические смеси, вступающие в реакцию, могут самопроизвольно расслаиваться в макроскопических масштабах, порождая при этом пространственно регулярные структуры распределения веществ. Основные свойства такой системы могут быть описаны нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, в которых

Q X1 r,t , X 2 r,t – в общем случае, нелинейные функции, описывающие

их взаимодействие. Последние слагаемые в уравнениях (BRS.1) (BRS.2) описывают диффузию этих веществ с коэффициентами диффузии D1 и D2 . Знак − означает оператор Лапласа, который в простейшей декартовой

предполагаются вполне симметричными, а все параметры системы пространственно однородными. В такой систем естественно ожидать в качестве асимптотического режима гомогенное стационарное распределение

Взамкнутом объеме по отношению к вступающим в реакцию веществам данный режим является единственно устойчивым.

Воткрытой системе потоки вещества через объем реакции могут удерживать состояние системы на довольно значительном «удалении» от состояния термодинамического равновесия. Оказывается, что простая система (BRS.1) (BRS.2) может качественно описать процессы самопроизвольного возникновения волн и структур в распределенных системах. При этом процессы самоорганизации происходят, когда в системе возникают неустойчивости, приводящие к потере исходного равновесного распределения веществ. Вместо этого устанавливается новый тип распределения веществ во времени и пространстве, то есть происходит самоорганизация системы. Например потеря устойчивости стационарного пространственно-однородного распределения веществ в химической реакции может привести к тому, что в системе появляются

автоколебания периодические самоподдерживающиеся волны химической активности.

возникать различные нетривиальные типы поведения переменных или виды самоорганизации, например:

1)распространяющиеся возмущения в виде бегущего импульса;

2)стоячие волны;

3)синхронные автоколебания разных элементов во всем пространстве;

4)квазистохастические волны, которые получаются при случайном возмущении разности фаз автоколебаний в двух точках пространства;

5)стационарные неоднородные распределения переменных и формирование пространственно диссипативных структур.

Если вещество имеет сложный состав и включает несколько компонентов, каждый из компонентов перемещается в направлении своих меньших концентраций, что приводит к выравниванию концентраций каждого из веществ. Неоднородная смесь веществ в замкнутом объеме, предоставленная самой себе, станет со временем благодаря диффузии однородной (вещества перемешаются), и концентрация каждого из веществ во всем объеме станет одинаковой. В такой системе установится так называемое однородное (или гомогенное) стационарное состояние. Время установления стационарного состояния, естественно, определяется свойствами вещества, в основном, подвижностью его молекул.

В активных кинетических средах, которыми являются биологические системы, кроме процессов диффузии, происходят также взаимодействия

148

между компонентами, описываемые, как правило, нелинейными функциями. Эти нелинейные процессы могут приводить к установлению различных концентраций взаимодействующих компонентов в разных точках пространства, препятствуя, таким образом, вызванному диффузией выравниванию концентраций. Противоборство этих двух процессов: взаимодействия компонентов в каждой отдельной точке пространства и диффузии, в многом определяет поведение такой распределенной системы.

может развиваться диффузионная неустойчивость. Такая диффузионная неустойчивость означает, что малые возмущения относительно равновесного состояния могут не затухать при условии Re p 0 , как это происходит в

привычной ситуации вблизи термодинамического равновесия, а, наоборот, усиливаться до макроскопических масштабов. Способность к селективному усилению некоторой выделенной моды возмущений (диффузионная или тьюринговская неустойчивость) во многих случаях приводит к развитию новой пространственно-неоднородной макроскопической структуры, имеющей новую симметрию.

Анализ условий появления неустойчивостей для различных нелинейных моделей будет проведен в последующих параграфах.

149