Синергетика_Глава_2_10_Показатель_Ляпунова
.pdf
2.10. Показатель Ляпунова
Известно, что начальные условия физической системы могут быть определены лишь с ограниченной точностью. Это связано с тем, что каждое число в компьютере задается лишь конечным количеством байтов. Такая произвольно малая 1, но конечная неточность под действием нелинейного отображения может экспоненциально усиливаться. В предыдущем параграфе мы изучили, что под действием нелинейного отображения
xn 1 f xn |
|
(ENP.1) |
||
с некоторой функцией f x |
соседние |
точки, |
отличающиеся очень |
|
маленьким значением 1 |
могут разбегаться. |
Представим себе, что мы |
||
выберем две начальные точки |
x0 |
и x0 , причем две такие начальные |
||
точки разделены очень малым значением |
1. |
|||
Рис. ENP_1. Введение |
показателя Ляпунова x0 , характеризующего |
степень разбегания траекторий. |
|
Если мы возьмем |
в качестве начального значения величину x0 и |
применим N раз отображение f x , то в результате мы получим величину |
|
f ( N ) x0 . Если мы возьмем в качестве начального значения величину x0
и применим N раз |
отображение f x , |
то в |
результате |
мы |
получим |
|||
величину |
f ( N ) x0 . Оказывается, что |
при |
|
определенном |
значении |
|||
начального |
значения |
x0 , при определенном |
значении |
управляющего |
||||
параметра , разность между этими величинами |
|
f ( N ) x0 f ( N ) x0 |
|
|||||
|
|
|||||||
будет пропорциональна величине , умноженную на экспоненциально большую величину, зависящую от числа итераций
135
exp N x0 |
|
f ( N ) x0 |
f ( N ) x0 |
|
|
|
(ENP.2) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Показатель x0 |
- |
характеризующий степень экспоненциального |
||||||||||||||||||
разбегания траекторий, |
называется |
показателем П.Л.Ляпунова. |
Если мы |
|||||||||||||||||
перейдем к пределу |
0, |
|
N , |
|
то показатель Ляпунова, зависящий |
|||||||||||||||
от начальной точки |
x0 |
можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
f ( N ) x0 f ( N ) x0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x0 limN |
|
|
lim 0 ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
df ( N ) x0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x0 limN |
|
ln |
|
|
|
|
|
|
. |
(ENP.3) |
||||||||||
|
|
|
dx0 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из явного вида определения показателя Ляпунова (ENP.2) видно, что |
|
величина exp x0 |
представляет собой коэффициент растяжения, |
который показывает, во сколько раз в среднем за одну итерацию увеличится
расстояние между близкими точками |
x0 |
и x0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
В |
|
качестве примера рассмотрим |
производную |
от |
дважды примененного |
|||||||||||||||||||||||||||
преобразования |
|
f (2) x . |
При |
дифференцировании |
используем |
правило |
||||||||||||||||||||||||||
вычисления производной сложной функции |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
d |
|
f (2) (x) |x |
|
d |
|
|
|
f |
f x |
|x |
|
f f x0 f x0 |
f x1 f x0 |
(ENP.4) |
|||||||||||||||||
|
dx |
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Справедливость такой формулы |
можно проверить явно |
для |
отображения |
|||||||||||||||||||||||||||||
Ферхюльста |
(глава |
|
|
1_10). Известно, |
что для отображения |
Ферхюльста |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f |
|
x |
|
4 x 1 x |
|
|
|
x |
|
4 8 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
С одной стороны, |
|
|
вторая итерация отображения Ферхюльста имеет вид |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
||||||
|
x |
|
f (2) |
|
x |
|
f |
(1) |
|
x |
|
|
|
4 x |
1 x |
16 2 x 1 |
x |
1 |
4 x |
1 x |
. |
|||||||||||
Вычисляя производную произведения двух величин |
x1 1 x1 |
получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||
d |
f (2) |
x |
|x |
|
|
||||
dx |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
d |
|
|
2 |
|
1 2x |
|
1 |
4 x |
1 |
x |
|
|
|
x2 |
|x 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
x0 |
x0 4 1 2x0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
136
d |
|
(2) |
|
|
|
|
|
d |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
x |
|
| |
|
|
x | |
16 |
|
1 |
2x |
1 |
8 x |
1 x |
|
|
dx |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x0 |
dx 2 |
x0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|||||
С другой стороны, согласно формуле (ENP.4)
f x1 f x0 4 8 x1 4 8 x0 16 2 1 8 x0 1 x0 1 2x0
Таким образом, мы получили два одинаковых результата. Обобщая формулу
(ENP.4) на |
N |
раз примененное преобразование f ( N ) x |
, получаем |
|||||||||||||
|
|
|
df ( N ) x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
N 1 |
|
|
|||||
x0 limN |
|
ln |
|
|
|
|
|
limN |
|
ln |
f xi |
. (ENP.5) |
||||
N |
dx |
|
N |
|||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Заметим, что |
в |
символе произведения |
индекс |
i |
изменяется от |
|||||||||||
i 0
нуля до N 1. Следовательно, вычисляя произведение, мы перебираем все N точек, от начальной точки x0 до точки xN 1. Вспоминая, что логарифм произведения равен сумме логарифмов, получаем окончательную формулу для вычисления показателя Ляпунова
|
|
1 |
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x0 limN |
ln |
|
f xi |
|
. |
(ENP.6) |
||||
N |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Последовательность точек: x0; |
x1 f x0 ; |
x2 f (2) x0 ; |
xn f (2) x0 |
|||||||
может быть охарактеризована |
с помощью |
показателя Ляпунова x0 , |
||||||||
который показывает, как разбегаются близкие точки с начальными
значениями |
x0 и |
x0 . В |
зависимости от знака (ENP.2) могут |
||
реализовываться два сценария. |
Если |
знак |
0 , то это означает случай |
||
притяжения |
точек. |
Если знак |
0 |
, то |
это означает случай разбегание |
точек или случай наступления хаоса. Для отображения Ферхюльста
зависимость |
от управляющего параметра |
изображена на рис. ENP.2 |
||||
Для отображения Ферхюльста мы будем различать |
бифуркационный |
|||||
режим 0.862 c , |
где величина |
c 0.89 , a показатели |
Ляпунова |
|||
отрицательны |
0 |
(показатель |
Ляпунова |
равен |
нулю |
лишь в |
бифуркационных точках) и хаотический режим c 1, |
где большинство |
|||||
значений 0 . Заметим, что хаотический режим прерывается некоторыми
137
окнами, где последовательность итераций f (n) x вновь оказывается периодической.
138
Рис. ENP_2. |
Зависимость |
показателя |
Ляпунова |
от |
управляющего |
параметра |
отображения Ферхюльста |
xn 1 4 xn 1 xn . |
|||
Вывод. Положительный знак |
показателя |
Ляпунова |
0 |
(ENP.2) является |
|
еще одним критерием существования хаотического движения.
139