Синергетика_Глава_2_09_Нелинейные отображения

x

n 1

G x

n

; ,

(NLM.1)

где x n x1 n ; x2 n ;....xd 1 n вектор,

имеющий размерность d 1,

n

- номер итерации, G x

n

, - нелинейная функция,

- управляющий

предыдущему d 1

вектору

x n x1 n ; x2 n ;....xd 1 n с помощью

нелинейной

функции

G x

n

, ставится в соответствие последующий

d 1

вектор

x n 1 x1 n 1 ; x2 n 1 ;....xd 1 n 1 .

Отображение (NLM.1) получается при пересечении траектории

движения изображающей точки в

d мерном фазовом пространстве с

d 1

гиперповерхностью. Последовательность точек во времени обозначена

x 1 ;

x

2

; ..... x

n

; x

n 1

и так далее. Для модельных систем, проявляющих

зададим последовательность этих величин

pn ;qn в виде отображения

ˆ

p tn ;q tn

(NLM.2)

p tn 1 ;q tn 1 T

ˆ

представляет собой оператор сдвига на время

Оператор T

t tn 1 tn . Такие

операции совершались нами при численном

решении

ˆ

pn ;qn .

(NLM.3)

pn 1;qn 1 T

условия

p0 ;q0 , которые описывают значения импульса и координаты в

ˆ

начальный момент времени. Применяя n 1 раз отображение T

получаем,

что

для

пары переменных pn ;qn

можно получить соотношение

pn ;qn

ˆ n 1

p0;q0 .

T

(NLM.4)

В таком случае траектория системы, определяемая соотношением

(NLM.4)

представляет

собой

счетную

последовательность

p q

;

p q

;

p q

;.....

p q

.

Таким

образом,

сведение

0

0

1 1

2 2

n n

дифференциальных

уравнений к

последовательному

применению

системе дифференциальные уравнения. Отчасти

это

связано

с тем,

что

заданную последовательность точек

p q

;

p q

;

p q

;.....

p q

0 0

1 1

2 2

n

n

x , которая

x

переменной

изменяется в

диапазоне

0;1 . Такое

отображение

задает

последовательность

одномерной

переменной

x0 x1 x2

..... xn 1

xn xn 1 .....,

в

результате

которого

предыдущей величине

xn

ставится в соответствие последующая величина

xn 1

xn 1

4 xn 1 xn .

(NLM.5)

В отображение (NLM.5)

введен

внешний параметр

,

от которого

зависит поведение последовательности

xn . Такое отображение было введено

времени xn 1

xn

пропорциональна численности популяции в предыдущий

момент времени

xn . С другой

стороны, величина xn 1 пропорциональна

xn 1 1 xn

свободной части жизненного пространства, которая равняется

1 xn . Для

более населенной

популяции xn 1 темп рождаемости

Фейгенбаум

(1978) и

другие

исследователи

показали, что

итерации

x0 x1 x2..... xn 1 xn xn 1 .....

при

изменении

внешнего

параметра демонстрируют довольно сложное поведение,

которое

становится

хаотическим

при

увеличении

.

Таким образом,

простые

0 xn 1. Нелинейные функции

f x могут иметь разный вид.

Мы же в

своем рассмотрении ограничимся функцией f

x

4 x 1

x

(NLM.5),

f

x

4 x 1

x

.

(NLM.6)

Ферхюльста (NLM.5). Вычислим

производную

f x

этой функции

f x 4 8 x .

(NLM.7)

Найдем

значение

x ,

при

котором

f x 0 .

Уравнение

f x 4 8 x 0

имеет корень x

1

. Эта точка xmax

1

соответствует

2

2

f xmax 4

1

1

максимуму функции

1

. Максимум этой функции не

2

2

1.

(NLM.8)

121

Таким образом, условие

1

необходимо, чтобы гарантировать

4 x

x

принадлежность функции f

x

1

к единичному интервалу

4 x

x

Рис. NLM_1.

График функции f

x

1

в

зависимости

от переменной 0 x 1 при

3

.

4

2.9.3. Неподвижные точки. Циклы порядка

p

Особую роль

в любых отображениях

f x

играют

неподвижные

точки x* , которые удовлетворяют уравнениям

x* f x*; .

(NLM.9)

неподвижной точке x* снова

возвращает нас к той же неподвижной точке

x* в левой части уравнения

(NLM.9). Если мы находимся в одной и той

этом случае за единицу времени мы выбрали период цикла, а

его сечение

Пуанкаре есть неподвижная точка.

В общем случае возможны также другие притягивающие множества,

которые называются циклами с периодом p . Цикл с периодом

p означает,

что после p итераций мы возвращаемся в исходную точку:

первая итерация

имеет

вид

xk 1 f xk ; .

Вторая

итерация

имеет

вид

122

xk 2 f xk 1; f f xk ; f (2) xk ; .

Если,

применяя

p

раз

отображение

f ( p) xk ; ,

мы снова возвращаемся

к исходной точке

xk ,

то в этом случае мы имеем определение цикла порядка

p

имеет вид

xk f p xk ;

(NLM.10)

Значок

p

в

функции

f p xk ;

означает,

что

отображение

f

повторяется

p

раз.

В частном случае

цикла

второго порядка

получаем

xk 1 f xk ; ,

xk 2

f 2 xk ; . Если

выполняется

условие

xk 2 xk ,

то есть

xk f (2) xk ; ,

то мы имеем цикл второго

порядка.

Найдем неподвижные точки x*

для

конкретного

отображения

Ферхюльста:

x* 4 x* 1 x* . Первая неподвижная точка

x1* 0. Вторая

неподвижная

точка

x2*

определяется

из уравнения

1 4 1 x2* 0.

Таким образом, две неподвижные точки

отображения Ферхюльста имеют

вид

x* 0;

1

x2* 1

1

(NLM.11)

4

0 x 1 в отображении Ферхюльста (NLM.5). На

оси абсцисс зеленой

линией и стрелками обозначена область

1

, в

которой

0 x* 1.

4

2

Исследуем динамику отображения Ферхюльста в окрестности

неподвижных

точек

x* . Для решения этой задачи представим окрестность

точки xn в

виде

двух

слагаемых:

самой неподвижной

точки x* и

отклонения от неподвижной точки yn

x

x* y

n

(NLM.12)

n

x

1

x* y

n 1

.

(NLM.13)

n

С другой стороны, используя

определение отображения xn 1 f xn ; ,

выполним его разложение в ряд Тейлора

Сравним полученное выражение с (NLM.13): x

x* y

n 1

и приравняем

n 1

отклонения yn 1 yn f x*; . Разделив обе части этого соотношения на yn

получаем

yn 1

f x*; .

(NLM.14).

yn

Отметим, что в правой части соотношения (NLM.14) стоит некоторая

константа

C f x*; , которая представляет

собой производную от

функции

отображения, вычисленную в точке x* .

Анализируя, соотношение

(NLM.14) видно, что величины отклонений

yn 1 Cyn будут либо

возрастать C 1; либо не изменяться по величине

C 1, либо уменьшаться

C 1. Таким образом,

существуют три возможности

1) Если

f x*;

1, то неподвижная точка x*

локально неустойчива,

и ее

отклонения

yn 1 Cyn увеличиваются

с увеличением номера

n .

2) Если

f x*;

1,

то

эта

ситуация

соответствует

границе

устойчивости. В

этом случае отклонения

yn 1

Cyn

не изменяются

с увеличением номера n .

f x*;

1, то неподвижная точка x*

3) Если

локально устойчива,

и

ее

отклонения

yn 1 Cyn

уменьшаются с увеличением номера

n .

Итак, у

нас

для

отображения

Ферхюльста

f

x

4 x 1 x

есть

две

неподвижные точки:

x1* 0;

x2* 1

1

. Напомним, что

f x 4 8 x .

4

0

1

f x1*;

1.

A.

Значения

,

причем

4

мы будем рассматривать

Для таких значений управляющего параметра

только одну

неподвижную

точку x*

0, так

как

для

0

1

.

Вторая

1

4

неподвижная

точка

x*

1

1

для

таких значений

не

попадает

в

2

4

интервал изменений переменной

0 x 1 (рис.

NLM.2). Для

нас самым

важным является условие, что при малых 0

1

выполняется неравенство

4

f x1*;

1

(NLM.7). Следовательно

неподвижная точка

x1* 0 является

устойчивой.

Это означает, что последовательность

x0; x1; x2.....xn

притягивается к точке

x* 0.

В этом легко убедиться,

если мы

возьмем

1

величину

из

этого

интервала

1

, а

величину

x

для начальной

8

0

итерации

возьмем

равную

x

1

. В таком случае применяя

отображение

0

2

x1 4

1 1

1

1

Ферхюльста (NLM.5) получаем, что первая итерация

1

.

8 2

2

8

Подставляя

найденное

значение

x1

в

следующую

итерацию

получаем

x

7

. С ростом количества итераций

n получаем

x

0 .

Таким

2

27

n

125

образом, для малых

0

1

отображение

Ферхюльста имеет одну

4

притягивающую точку,

так как

x* 1

1

не принадлежит интервалу

2

4

размножения 0

1

в

пределе n величина

x 0 . Это означает,

4

n

величина неподвижной точки равняется

x*

0.

1

В. Управляющий параметр

1

.

4

Вычисляя производную f x, 4 8 x

(NLM.7),

для

точки

x1* 0.

1

Получаем

f

0,

1. Следовательно,

мы имеем границу

устойчивости

4

при таком значении управляющего параметра. Любопытно, что что

при

1

вторая неподвижная точка

x*

1

1

также равна нулю

x*

0 .

4

2

4

2

1

3

С. Управляющий параметр

, где

f x1*;

1,

f x2*;

1.

4

4

f x1*;

x1* 0 становится неустойчивой

1 означает, что

Условие

точка

точкой, а

точка

x* 1

1

при таком значении

попадает в интервал

2

4

Рис. NLM_3. Функция f x1* 0; в зависимости от параметра

.

Анализ рис. NLM_3 показывает, что только при 0

1

(область ,

4

подчеркнутая зеленым цветом)

выполняется неравенство f x1* 0; 1,

которое показывает, что точка

x* 0 является устойчивой

неподвижной

1

Покажем,

что неподвижная точка x* 1

1

является устойчивой и

2

4

притягивающей.

Для

этой

цели вычислим

значение производной

f x2* , 4

1

8 1

2

4 .

4

Рис. NLM_4. Функция f x2*; в зависимости от параметра

.