Синергетика_Глава_2_07_Неинтегрируемая_система_Хенона_Хейлеса

2.7. Неинтегрируемая классическая система Хенона-Хейлеса

Еще в конце XIX века фpанцузский математик А. Пуанкаpе обнаpужил, что в некотоpых механических системах, эволюция котоpых опpеделяется уpавнениями Гамильтона, возможно непpедсказуемое хаотическое поведение. Впоследствии было показано, что на самом деле таких систем в механике, названных неинтегpиpуемыми, великое множество. И pегуляpное, пpедсказуемое поведение механических систем является скоpее исключением, чем пpавилом. Одним из классических пpимеpов является система Хенона-Хейлеса (Heґnon, Heiles, 1964). Она пpедставляет собой частицу массы m = 1, котоpая движется в двумеpном потенциале. Функция Гамильтона такой системы зависит от компонент импульсов px и py

и координат частицы x и y

Такая функция Гамильтона представляет собой движение в потенциальном поле U x, y

Такая функция Гамильтона представляет собой задачу о движение частицы с компонентами импульсов px и py в потенциальном поле двух одинаковых

гаpмонических потенциалов с нелинейным взаимодействием между ними. Такое нелинейное взаимодействие описываемым двумя последними слагаемыми в потенциальной энергии U x, y . Уравнения Гамильтона в

такой системе представляют собой четыре нелинейных уравнения, в левые части которых входят производные по времени:

Такая система представляет собой систему 4 нелинейных уравнений первого порядка для четырех неизвестных Г t px t ; py t ; x t ; y t . В такой системе функция Гамильтона не зависит от времени явно. Следовательно в

99

такой системе полная энергия частицы Е сохраняется E const , то есть данная система является консервативной. Энергия в любой момент времени t остается постоянной и равной значению энергии в начальный момент времени t 0

В этом выражении (HHE.5) входят начальные значения импульсов и координат Г 0 px 0 ; py 0 ; x 0 ; y 0 , которые имеет частица в начальный момент времени t 0.

Рассмотрим эквипотенциальные поверхности в плоскости x, y

Рис. HHE_1. Область финитного движения для модели Хенона-Хейлеса. Ось Y направлена вертикально. Ось X направлена горизонтально. Пунктиpные линии пpедставляют собой эквипотенциальные кpивые U (x, y) =const.

называется классически достижимой областью движения. К сожалению, решение системы четырех дифференциальных уравнений (HHE.3)-(HHE.4) приводит к уравнению движения изображающей точки, траектория которой расположена в четырехмерном фазовом пространстве. Осями такого

четырехмерного фазового пространства Г t px t ; py t ; x t ; y t , в

100

котором расположена фазовая траектория, являются оси X1 px ; X 2 py ,

четырехмерном пространстве движется по некоторой сложной траектории. К сожалению, изобразить движение изображающей точки по такой траектории в четырехмерном пространстве - оказывается сложной задачей.

Обобщая нашу задачу Хенона-Хейлеса с четырехмерным фазовым пространством Г t px t ; py t ; x t ; y t , можно сказать, что изучение многих нелинейных систем выполняется в многомерном фазовом пространстве с равномерно распределенными моментами времени, такими как t n t , где n 0,1,...., где t - шаг по времени ( время дискретизации). В этом случае фазовые траектории рассчитываются численными методами, например, методом Рунге-Кутта. Для того, чтобы проанализировать движение в многомерном фазовом пространстве был придуман метод, который предложил математик Пуанкаре.

Известно, что метод фазовой плоскости для задачи, в которой существует пара переменных x; px широко используется для анализа

поведения многих систем. Например, замкнутые фазовые траектории соответствуют периодическим во времени решениям. Ситуация становится гораздо более сложной в случае нелинейных систем, когда расшифровка фазовых диаграмм представляет собой очень трудную задачу. Известно, что

имеет вид x t x0 cos t . Частица в поле одномерного гармонического осциллятора ограничена координатами x0 x x0 , и импульсамиp0 px p0 . Это означает, что для одномерного осциллятора координаты

101

x ограничены классически достижимой областью, вытекающей из условия

U (x) E .

Принцип построения сечений Пуанкаре для систем, описывающихся многомерным фазовым пространством, состоит в следующем. В фазовом пространстве исследуемой системы рассматриваются поперечные сечения фазовых траекторий плоскостями X n =const, где X n −выделенная ось многомерного фазового пространства. Точки пересечения фазовых траекторий с плоскостями X n =const указываются на двумерной плоскости, которая называется сечением Пуанкаре. В результате возникает удобная для наглядного представления двумерная картина, которая содержит последовательность точек пересечения фазовых траекторий с различными плоскостями X n = const. Это своего рода «дискретная орбита»,

показывающая как изменяются координаты начальной точки (x, y) спустя один, два и так далее периодов внешнего воздействия на систему.

Рассмотрим задачу движения осциллятора с трением. Под действием трения энергия частицы будет уменьшаться. Фазовая траектория такого движения изображена на рис. HHE_2. На фазовой плоскости x и x илиx; px mx проведем луч из начала координат в произвольно выбранном

направлении и будем отмечать последовательные точки пересечения траектории с этим лучом z1; z2 ;..zn (рис. HHE_2)

Рис. HHE_2. Построение отображения для устойчивого фокуса

нас несущественно. Понятно, что при разных начальных условиях последовательность точек будет разной. Однако при заданном уравнении

которого, как известно, единственно). Поэтому можно сказать, что

Вид этой функции f x определяется уравнениями движения и, вообще говоря, начальными условиями. Соотношение (HHE.7) называется точечным отображением последовательности величин xi для рассматриваемого движения или его отображением Пуанкаре. Например, для установившихся периодических колебаний точка пересечения x* ( точка на положительной стороне оси x , являющаяся пересечением эллипса с осью x ) является единственной рис. HHE_3.

Рис. HHE_3. Единственная отображающая точка для установившихся периодических во времени колебаний.

На рис. HHE_4 изображена траектория изображающей точки в трехмерном фазовом пространстве. Если движение происходит в пространстве большего числа измерений ( в данном случае размерность фазового пространства равна 3), то в качестве "секущего" элемента можно выбрать плоскость x3 const рис. HHE_4.

Рис. HHE_4. Плоское (двумерное) сечение Пуанкаре плоскостью x3 const

103

Для такого случая отображение Пуанкаре будет "двумерным" для

в котором существует трехмерная траектория изображающей точки, положим постоянное значение x3 const , то увидим, как изображающая точка «протыкает» нашу плоскость x3 const при различных значениях x1 и x2 .

Другая причина важности изучения подобных отображений заключается в том, что, как оказывается, таким отображениям присущи вполне определенные закономерности, а также некоторые универсальные свойства, которые прослеживаются и в динамических системах, их породивших. Ниже на рис. HHE_5 приведены некоторые примеры отображений Пуанкаре.

нижний рисунок) движение к неподвижной точке; в) (верхний правый рисунок) цикл; г) (нижний правый рисунок) цикл удвоенного периода.

После того, как мы изучили сечения Пуанкаре на простейших задачах − вернемся к нашей нелинейной задаче Хенона-Хейлеса (HHE.3), (HHE.4). Пpи энеpгиях E , близких к нулю система совершает обычные гармонические колебания. Мы уже говорили о том, что если полная энеpгия этой

(потенциальной яме) на плоскости xy , показанной на рис. HHE_1. Однако если величина энергии E не очень мала, то большая часть тpаектоpий этой системы (с двумя степенями свободы) блуждает по изоэнеpгетической гипеpповеpхности в 4− меpном фазовом пpостpанстве x; y; px ; py кpайне

неpегуляpным обpазом. Так, если взять только те моменты вpемени, когда

называемое сечение Пуанкаpе).

Заметим, что для энеpгии E =1/10 показано несколько траекторий (с разными начальными условиями), а для E =1/8 показана всего одна траектория, которая является хаотической.

Вывод

Для системы Хенона-Хейлеса при достаточно большой энергии, которая является управляющим параметром теории, точки на сечении Пуанкаре начинают очень плотно заполнять всю классически допустимую область. Это свидетельствует о высокой степени нерегулярности, то есть о хаотическом движении частицы в фазовом пространстве. Плотное заполнение всей классически допустимой области точками Пуанкаре является третьи параметром, который характеризует хаотическое поведение системы.

Перечислим три количественных параметра хаотического движения, которые мы сформулировали в трех предшествующих параграфах.

105

Первый критерий хаоса. Спектр Фурье хаотического движения является очень широким. Он простирается в большой полосе частот и слабо затухает при высоких частотах.

Второй критерий хаоса. Корреляционная функция, описывающая взаимообусловленность процессов в моменты времени t и t , очень быстро затухает со временем.

Третий критерий хаоса. Сечение Пуанкаре для изображающих точек очень плотно заполняет всю классически достижимую область.

106