Синергетика_Глава_2_05_Эксперимент Бенара

2.5. Эксперимент Бенара

Ячейки Бенара или Рэлея — Бенара — возникновение упорядоченности в виде конвективных ячеек в форме цилиндрических валов или правильных шестигранных структур в слое вязкой жидкости с вертикальным градиентом температуры, то есть равномерно подогреваемой снизу.

https://www.youtube.com/watch?v=SC2nXB1s1mA ( 5 минут, в середине сбой) https://www.youtube.com/watch?v=EnNe8LJJEVQ ( 6 минут )

Ячейками Бенара можно объяснить происхождение вулканических образований в форме пучка вертикальных колонн — такими являются памятники природы «Девилс-Тауэр» (США) и «Мостовая гигантов» (Северная Ирландия).

===========================================================

=

Рис. BEE_1. Ячейки Бенара в гравитационном поле: a) режим теплопроводности; б) режим конвективных валов; в) режим турбулентности.

84

В 1901 году физик Бенар обнаружил странный эффект в конвективном движении газа и жидкости. Рассмотрим слой жидкости, подогреваемой снизу (рис. 1,а). Эффект Бенара можно также наблюдать в следующем опыте: в неглубокий сосуд помещают растительное или силиконовое масло и равномерно подогревают его снизу. Возникает разность температур между верхней и нижней поверхностями

1) при малых значениях градиента температур тепло переносится в результате процесса теплопроводности, т. е. благодаря молекулярной передаче энергии хаотически движущихся молекул газа или жидкости ( рис.

BEE_2 a)

2) При больших градиентах Tmax Tmin Tcr возникает конвекция и

жидкость разбивается на гексагональные ячейки (рис. BEE_2б), т. е. возникает динамическая, организованная, упорядоченная структура - это один из видов диссипативной структуры. Для таких перепадах температур диффузия и теплопроводность не успевает привести к однородному распределению температуры по объёму. Возникают цилиндрические валы, вращающиеся навстречу друг другу (как сцепленные шестерёнки).

3) при дальнейшем увеличении температуры ячейки Бенара будут существовать, однако, некоторые их характеристики начнут изменяться. При увеличении градиента температуры возникает второй критический переход. Для ускорения диффузии каждый вал распадается на два вала меньшего размера. При дальнейшем увеличении управляющего параметра валы дробятся и в пределе возникает турбулентный хаос. После перехода через второе критическое состояние структура течения станет размытой и возникнет новый режим, характеризуемый неупорядоченной зависимостью переменных во времени - это так называемый турбулентный режим.

Рис. BEE_2 Образование ячеек Бенара на поверхности жидкости.

В тонком слое при подогреве снизу образуются ячейки правильной гексагональной формы, внутри которых жидкость поднимается по центру и опускается по граням ячейки. Такая постановка эксперимента исторически была первой, однако здесь на самом деле наблюдается конвекция Марангони,

85

возникающая за счёт действия сил поверхностного натяжения и зависимости их от температуры жидкости.

Рис. BEE_3. Зарождение конвективного движения: а) хаотическое движение; б) возникают и разрушаются конвективные ячейки; в) ячейки Бенара.

Зарождение турбулентности

Турбуле́нтность, (от лат. turbulentus — бурный, беспорядочный), турбуле́нтное тече́ние — явление, когда при увеличении скорости течения жидкости (или газа) образуются нелинейные волны. Волны образуются обычные, линейные различных размеров, без наличия внешних сил и/или при наличии - сил, возмущающих среду. Для расчёта подобных течений были созданы различные модели турбулентности. Волны появляются случайно, и их амплитуда меняется хаотически в некотором интервале. Они возникают чаще всего либо на границе, у стенки, и/или при разрушении или опрокидывании волны. Они могут образоваться на струях. Экспериментально турбулентность можно наблюдать на конце струи пара из электрочайника. Количественные условия перехода к турбулентности были экспериментально открыты английским физиком и инженером О. Рейнольдсом в 1883 году при изучении течения воды в трубах.

86

Турбулентность в её обычном понимании возникает в пристеночных слоях слабовязких жидкостей или газов либо на некотором удалённом расстоянии за плохо обтекаемыми телами.

Для теоретического описания турбулентности применяются различные подходы. При статистическом подходе считается, что турбулентность порождает случайно изменяющаяся совокупность вихревых элементов различных размеров. Другим подходом является метод спектрального анализа, который дополняет статистический подход.

Рис BEE_4. Рождение турбулентности при обтекании шара потоком жидкости:

а) ламинарное течение (Re=10-2);

б) появление вихрей в кормовой части (Re=20); в) развитие вихрей (Re=102);

г) развитая турбулентность (Re>104)

Рассмотрим вначале цилиндр, ось которого перпендикулярна скорости V движущейся жидкости. На рис. 6,а) схематически показаны линии тока жидкости при малой скорости ее движения. Характер этих линий зависит не

жидкости - ее средняя плотность) и от диаметра d цилиндра. Эти числа объединяют в безразмерный комплекс Рейнольдса, Re Vd , который более

полно, чем одна скорость описывает картину обтекания цилиндра жидкостью. Итак, при малых числах Re 20 линии тока стационарны, т. е. не меняются со временем. Но после того, как скорость превысит некий порог, появляются рециркуляционные вихри в следе за цилиндром (рис. BEE_4,б). Стационарный режим исчезает, уступая место цепочке вихрей, вращающихся попеременно то в одну, то в другую сторону. Это явление носит название вихревой дорожки Бенера - Кармана. На рис. BEE_4 изображена эволюция

вихрей для различных значений 20 Re 106 . При Re > 20 появляется пара вихрей, при Re > 102 вихри осциллируют. При еще более высокой скорости (Re > 106) появляется нерегулярная картина - турбулентный поток. В последней можно также усмотреть появление новой картины самоорганизации - порядка в хаосе. Подчеркнем универсальный характер описываемых здесь периодических явлений: след турбулентных явлений можно обнаружить в структуре облаков, создаваемых ветром над городом и за Большим красным пятном на Юпитере.

Возвратимся в нашем рассмотрении у явлению Бенара (рис. BEE_1). Управляющим параметром, определяющим смену режимов поведения жидкости при нагреве, является значение числа Рэлея R

W , градиент температуры T и коэффициент теплопроводности, имеет вид W T .

Вывод. В эксперименте Бенара, при котором жидкость в поле тяготения подогревается снизу при малых разностях температур

преобладает вязкость. Жидкость покоится и тепло переносится постоянной теплопроводностью. Такое состояние становится неустойчивым при критическом значении числа Рэлея Rcr . Такое критическое значение для

данной жидкости достигается увеличением разности температур Tmax Tmin . Если R Rcr в жидкости появляются стационарные конвективные валы,

88

характеризующие ее движение. При дальнейшем повышении величины R конвективные валы разрушаются и в жидкости устанавливается турбулентный режим, характеризующийся полностью хаотичным

свободного падения. Заметим, что нелинейность в гидродинамики связана с полной производной по времени

Чтобы упростить все вычисления предполагается, что система обладает трансляционной симметрией по оси Y. Учтем, что зависимостью всех постоянных нашей задачи, входящих в уравнения (BEE.2)-(BEE.4), от температуры T можно пренебречь. Единственной величиной, которая

89

зависит от температуры T , является плотность жидкости T , которая

линейным образом зависит от температуры. Такое приближение называется приближением Буссинеска. Требования симметрии определяют зависимость искомых величин от своих аргументов (рис. BEE_5). Ширина плоской пластины по оси z , нижняя часть которой нагрета до температуры

ax

функциями по координате x и по координате z являются sin иh

sin z .

h

«Детерминированный хаос».

90

X X Y

Связанная система трех обыкновенных дифференциальных уравнений для

91

Рис. BEE_6. Спектр мощности конвективного потока в эксперименте

Бенара. При увеличении относительного числа Рэлея R* наблюдаются следующие состояния: a) верхний рисунок. периодическое движение с одной

движение с несколькими узкими линиями в спектре R* 46.8; г) хаос,

R* 65.4

92

Вывод. Критерием хаотического поведения системы в задаче Бенара является сложный спектр Фурье исследуемой величины. При хаотическом поведении величины Vx x, z,t спектр мощности характеризуется широким

спектром частот, медленно спадающим при высоких частотах. Это означает, что исследуемая величина характеризуется сложным набором частот, в который одинаковым образом входят как низкие, так и высокие частоты колебаний.

93