Синергетика_Глава_2_04_Нелинейный_маятник_с_диссипацией_в_электрическом_поле

исследовано математиками. Решения такого уравнения составляют особый класс специальных функций - функции Матьё. Для наших целей важно отметить свойства неустойчивости такого уравнения. На плоскости параметров - амплитуда частота существуют зоны неустойчивости, которые имеют вид характерных клювов, расположенных в окрестности резонансных

Матьё. Таким образом, для того чтобы решение уравнения (EMC.16) было неустойчивым, необходимо, чтобы соответствующее решение уравнения (EMC.17) нарастало бы по закону Z x exp px , где параметр p .

Таким образом, границы зон неустойчивостей при 0 сдвигаются вверх. Поскольку амплитуда воздействия, связанная с величиной q должна превышать некоторое пороговое значение, которое увеличивается с номером резонанса), то такая неустойчивость носит пороговый характер.

Исследуем возможность экспоненциального нарастания во времени решений классического уравнения Матьё y t exp t (EMC.17). Функция

частоты t в этом уравнении является периодической функцией времени

- два независимых решения дифференциального уравнения, то при замене

постоянный множитель

80

y1 t T 1 y1 t ; y2 t T 2 y2 t . (EMC.18)

Наиболее общий вид этих функций, обладающих таким свойством, можно выбрать в виде

Покажем, что постоянные 1 и 2 в этих функциях должны быть связаны друг с другом определенным соотношением. Мы имеем два уравнения y1 t 2 t y1 t 0 ; y2 t 2 t y2 t 0 . Умножим первое уравнение

Из условия вещественности решений y1 t и y2 t вытекает, что константы

другое решение экспоненциально затухает со временем

от положения равновесия приводит к параметрическому резонансу, согласно

(Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М, Нелинейные колебания, издание 3, М., Ленард, 2020, Лекция 16; Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические метолы физики, Москва, Атомиздат, 1972 ) На некоторой плоскости параметров, для которых осью абсцисс является ось величин a , а осью ординат является величина q существуют зоны неустойчивостей, которые имеют вид характерных клювов, расположенных вблизи величины

a n2 , где n 1,2,3... Эти устойчивые области изменения параметров q и a уравнения Матье (EМC.17) закрашены зеленым цветом. Области неустойчивого решения уравнения Матье имеют белый цвет.

Рис. EMC_3. Границы зон неустойчивости на плоскости параметров a и q для классического уравнения Матьё. Цифры 1,2,3,4, 5 соответствуют номерам резонансов. Зеленым цветом закрашены устойчивые области. При учете затухания 0 границы этих областей сдвигаются наверх. Пунктирными линиями обозначены границы устойчивости при 0 .

Первый резонанс наблюдается при a 1. Область устойчивости при a 1 очень узкая и распространяется только для очень малых q . В наших

82

расчетах мы считали, что a b 2 =1.0009−(0.03)2=1. Эта величина в точности соответствует первому резонансу уравнения Матьё ( рис. 1_3_2). Для нашего численного расчета нелинейного уравнения Матье с затуханием мы получили, что границы устойчивости нелинейного уравнения Матье представляют величину q 0.5 ( случай 6).

Вывод

Выводом данного параграфа, посвященного решению уравнения движения нелинейного маятника с диссипацией, находящего в поле тяжести и периодическом поле, обусловленном электрическим полем, является обнаружение неустойчивости. Такая неустойчивость, называемая параметрическим резонансом, приводит к экспоненциальному поведению решения дифференциального уравнения со временем. При такой неустойчивости возникает серьезное изменение фазовой траектории такого маятника.

83