Синергетика_Глава_2_04_Нелинейный_маятник_с_диссипацией_в_электрическом_поле
.pdf
2.4. Нелинейный маятник с диссипацией, подвергающийся действию периодической вынуждающей силы
Впредыдущем параграфе мы сформулировали понятие детерминированной системы и ввели понятие детерминированного хаоса. Главную роль в появлении хаотических явлений в природе выполняет свойство нелинейности рассматриваемых физических систем, а также особая чувствительность поведения таких систем к небольшим отклонениям в начальных условиях (эффект бабочки). Нами было сформулировано понятие бифуркация, перемежаемости и проиллюстрировано поведение так называемого странного аттрактора.
Внастоящем параграфе мы рассмотрим задачу, в которой будет наблюдаться явление развития неустойчивости. Для иллюстрации этого явления рассмотрим задачу нелинейного маятника с диссипаций, подвергающего действия периодической вынуждающей силы. Предположим,
что заряд e0 0 , имеющий массу m , находится на конце бесконечно тонкой
металлической спицы длиной l , |
в однородном поле тяжести, а также в |
||
однородном |
поле напряженностью 0 , зависящем от времени t |
по закону |
|
0 cos t . |
Такое однородное |
электрическое поле можно |
создать в |
бесконечном конденсаторе, расстояние между пластин которого равно 2d ,
причем длина подвеса l |
грузика массой m |
удовлетворяет соотношению |
||
l d . В центре такого |
конденсатора |
расположим подвес маятника, |
с |
|
координатной системой |
Y , X , причем |
ось |
Y направлена вверх, а ось |
X |
направлена слева направо.
Целью решения нашей задачи является определение зависимости угла отклонения t от времени. В начальный момент времени заряд отклонен
на угол 0 0 , а скорость изменения угла в начальный момент времени
равна нулю 0 0. На массу |
m , имеющую заряд q действует сила |
тяжести F1 mg , направленная |
вниз, и сила со стороны электрического |
F2 e0 0 cos t . В начальный момент времени t 0 такая сила со стороны электрического поля при e0 0 направлена вниз. Кроме этих сил на груз с массой m действует сила трения, пропорциональная скорости движения маятника.
70
Рис. EMC_1. Поведение математического маятника с трением в поле тяжести и в однородном электрическом поле, изменяющемся по гармоническому закону.
На рисунке |
EMC_1 ось Y направлена вертикально |
вверх, |
а ось |
X |
||||||||
направлена слева направо. Введем цилиндрическую |
систему |
координат |
||||||||||
X l sin , |
Y l cos . В таком |
случае |
компоненты скоростей равны |
|||||||||
X Vx l cos , |
Y l sin . Квадрат |
скорости |
V 2 Vx2 |
Vy2 l2 2 . |
||||||||
Кинетическая |
энергия |
частицы |
с массой |
m |
равна |
K |
ml2 2 |
. |
||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
Потенциальная энергия |
частицы в поле притяжения и в электрическом поле |
|||||||||||
равна |
U mg e0 0 cos t Y . |
|
Функция |
Лагранжа |
||||||||
L K U |
ml2 2 |
mg e0 0 cos t l cos . |
В реальной задаче |
нам |
||||||||
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
необходимо учитывать силы трения в нашей системе. Предположим, что
диссипативная функция |
D , определяющая потери энергии |
в |
системе и |
||||||
имеющая |
размерность |
[D]= эрг/ c , пропорциональна |
квадрату |
скорости |
|||||
частицы V . В этом |
случае диссипативная функция D имеет вид |
||||||||
D |
1 |
V 2 |
1 |
l2 2 . |
Коэффициент трения |
имеет |
размерность |
||
|
|
||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
[ ] г / c .
71
Уравнения Лагранжа с учетом диссипации имеют вид [Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теоретическая физика, том 1, Механика, параграф 25)
|
d |
L |
|
L |
|
D |
. |
(EMC.1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|||
Диссипативная функция D определяет |
интенсивность |
потери энергии в |
|||||||
системе. Выясним физический смысл этой диссипативной функции.
Вначале предположим, что потенциальная энергия U явно не
зависит от времени t . Такая ситуация соответствует колебанию маятника в том случае, когда на маятник действует только сила тяжести. При таком
предположении функция Лагранжа L , , зависящая от угла и
производной по времени , представляет собой разность между |
||||
кинетической и потенциальной энергией системы |
L , K U . |
|||
Составим величину E L |
L |
ml2 2 |
U , |
которая представляет |
|
||||
|
2 |
|
|
|
собой энергию системы E . Для консервативных систем величина энергии E сохраняется. Напомним, что закон сохранения энергии справедлив, если система находится в постоянном не зависящем от времени
внешнем поле U . Единственное, используемое при выводе закона сохранения энергии, условие состоит в том, что функция Лагранжа L ,
явно не зависит от времени |
L |
|
, |
|
0 . В нашем случае колебания |
|
|
||||
|
t |
|
|||
|
|
|
|
||
маятника под действием периодической во времени внешней силы закон сохранения энергии E const не выполняется, так как потенциальная энергия системы явно зависит от времени из-за переменного во времени электрического поля.
Рассмотрим теперь систему с диссипацией энергии и вычислим производную по времени от механической энергии системы
dE |
|
d |
L |
|
|
L |
|
d |
|
|
|
|
|
|
L , |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|||||
|
dt |
|
|
|
|||||
L L L ddt
L L
Подставляя в это выражение уравнения Лагранжа с учетом диссипации (EMC.1) получаем закон убывания энергии в системе
72
dE D l2 2 . dt
Анализируя правую и левую часть этого соотношения можно еще раз
проверить, что |
размерность |
величины |
|
г |
, |
так как |
размерность |
|||||||||
с |
||||||||||||||||
dE |
|
гсм2 |
, а |
размерность |
|
|
1 |
. |
Подставляя |
явный |
вид функции |
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||
|
|
с |
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Лагранжа и диссипативной функции D получаем уравнение колебания маятника с трением под действием силы тяжести во внешнем электрическом поле
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
e0 0 cos t |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 0 . |
(EMC.2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
m |
l |
|
ml |
|
|
|
|||||||
Введем величины R , |
0 |
|
и |
0 , |
которые имеет смысл круговых частот, |
|||||||||||||
имеющих размерность |
рад/c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
; |
|
|
2 |
|
g |
; |
2 |
|
e0 0 |
. |
(EMC.3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
m |
R |
|
|
0 |
|
|
l |
|
0 |
|
|
ml |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Величина 0 играет роль собственной круговой частоты математического маятника для случая малых колебаний 1, если трение в системе равно
нулю 0 . |
Мы будем |
рассматривать |
случай малого трения R 0 . |
Постоянная |
величина |
0 связана |
с амплитудой приложенного |
электрического поля 0 . Такие обозначения позволяют представить уравнение колебания маятника (EMC.2) в виде
|
2 R 02 02 cos t sin 0 . |
|
(EMC.4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Важно отметить, что это уравнение (EMC.4) |
- нелинейное, |
так как в это |
|||||
уравнение |
входит |
искомая величина sin , |
которая разлагается в ряд |
||||
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
Тейлора |
sin |
3! |
5! ... и для |
больших углов |
содержит все |
||
степени разложения. Таким образом, в нашей задаче присутствуют два
важных физических фактора, которые могут приводить к появлению неустойчивости в системе. Одним из таких факторов является нелинейность системы, вторым таким фактором является диссипация энергии, связанная с трением.
73
Полезно проверить справедливость уравнения (EMC.4), используя обычные уравнения Ньютона
mX Fx ;
|
mY Fy ; |
(EMC.5). |
|
В уравнениях |
(EMC.5) Fx и Fy |
- проекции сил на оси |
X и Y . Для |
того, чтобы |
проделать этот вывод |
напишем выражения для ускорений на |
|
оси x и ось |
y в цилиндрической системе координат |
|
|
|
X l 2 sin l cos |
(EMC.6) |
|
|
Y l 2 cos l sin |
(EMC.7) |
|
На частицу с массой m и зарядом |
e0 действует сила натяжении нити T , |
||
направленная вдоль нити, имеющей длину l . На частицу действует сила сопротивления, пропорциональная скорости, а также сила, связанная с
действием силы |
тяжести и электрического поля. Учтем, что проекция |
силы |
натяжения T |
направлена в стороны противоположную направлению оси |
|
X : FTx T sin , проекция силы сопротивления на ось X |
равна |
|
FDx Vx l cos . Проекции сил на ось Y складываются из проекции силы натяжения, направленной вверх T cos , и проекций сил сопротивления FDy Vy l sin ; силы тяжести и электрического поля, направленных
вниз: Fy T cos e0 0 cos t mg l sin . Таким образом, в декартовой
системе координат мы имеем два уравнения: первое уравнение представляет собой проекцию на ось X , второе уравнение представляет собой проекцию на ось Y
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m l 2 sin l cos |
T sin l cos ; |
|
|
|
|
|
|
(EMC.8) |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
m l 2 cos l sin T cos l sin mg e |
|
cos |
|
t |
|
(EMC.9) |
|||
Умножая уравнение для проекции на ось X (EMC.8) на |
cos , а уравнение |
||||||||
(EMC.9) для проекции |
на |
ось Y на множитель sin , |
и |
складывая эти |
|||||
уравнения, получаем знакомое уравнение движение гармонического осциллятора с трением под действием гармонической силы (EMC.4).
Для получения решения уравнения (EMC.4) необходимо воспользоваться различными численными схемами, которые разработаны для решения дифференциальных уравнений первого порядка. Для того, чтобы
74
осуществить переход от дифференциального уравнения второго порядка к системе дифференциальных уравнений первого порядка введем безразмерное время
|
|
|
x |
t . |
(EMC.10) |
|
|
|
|
2 |
|
Коэффициент 1 / 2 |
нужен нам для того, чтобы для некоторых предельных |
||||
случаев сравнивать получающиеся численные |
решения |
со стандартным |
|||
решением |
уравнения Матье. При такой линейной замене производные по |
||||
обычному времени t |
легко преобразуются в производные по безразмерному |
||||
времени x . Для |
удобства написания математических программ искомую |
||||
величину |
x |
обозначим через функцию |
U x x Разделив все |
||
слагаемые на величину 2 / 4, |
получаем уравнение второго порядка для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции U |
|
x |
|
, в котором участвуют производные U |
, U |
по переменной |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xx |
|
x |
|
||
x . Начальными условиями для такого уравнения: U 0 0 |
U0 ; U 0 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
4 02 cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
U x |
|
|
|
R |
U x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin U x 0 . |
(EMC.11) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введением постоянных , b , и |
|
q |
|
уравнение |
(EMC.11) можно записать |
||||||||||||||||||||||||||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
x |
|
2 U |
|
x |
|
b 2qcos |
|
2x |
|
sin U |
|
x |
|
0 , |
|
|
(EMC.12) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 R |
; |
|
b |
|
4 02 |
; |
|
q |
2 02 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(EMC.13) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Безразмерная постоянная характеризует силу трения |
2 b , постоянная |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
b характеризует |
|
|
учетверенное |
отношение |
|
квадрата частот |
собственного |
||||||||||||||||||||||||||||
колебания маятника 0 к частоте , связанной с гармонической внешней силой, обусловленной электрическим полем 0 . Постоянная q
характеризует амплитуду внешнего электрического поля (EMC.3). Заметим, что уравнение (EMC.11) можно записать в виде трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, к которым можно применить многие стандартные процедуры численного решения (например,
метод Рунге-Кутта). В таком случае мы будем рассматривать три функции
U x , U x V x , W x x
75
|
U x V x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(EMC.14) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
V |
|
x |
|
4 |
|
|
V |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2W |
|
x |
|
|
sin U |
|
x |
; |
(EMC.15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
W x 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(EMC.16). |
|||||||
Начальными условиями |
|
к этой системе уравнений являются три |
равенства: |
|||||||||||||||||||||||||
U 0 0 , V 0 0 , |
W 0 0. Для построения решения, определяющего |
|||||||||||||||||||||||||||
зависимость угла от безразмерного времени U x , |
где безразмерное |
|||||||||||||||||||||||||||
время |
|
x |
t |
, |
|
|
можно |
воспользоваться |
|
программой |
решения |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференциального уравнения второго порядка (EMC.10), работающей на сайте https://www.wolframalpha.com . Будем решать это дифференциальное
уравнение для значения параметров |
|
2 R |
0.03, |
b |
4 02 |
1.0009. В |
||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
этом случае неравенство |
R 0 выполняется. |
Величина электрического |
||||||||||||
поля |
0 |
будет определять безразмерный параметр 2 |
e |
0 |
/ ml (EMC.3). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
||
Мы |
|
|
будем |
делать |
расчеты |
|
для |
|
|
|
|
значений |
||
q 2 02 / 2 ={0;0.04;0.1;0.25;0.4;0.5;0.55;0.7}. |
|
Строчка |
|
|
|
вычисления |
||||||||
программы |
решения |
уравнения |
(EMC.10) |
|
|
на |
сайте |
|||||||
https://www.wolframalpha.com для параметра q 2 2 |
/ 2 |
0.5 имеет вид: |
0 |
|
|
Solve{U"(x)+0.06U'(x)+(1.0009+1cos(2x))sin(U(x))=0,U(0)=1.0, U'(0)=0.0} from 0 to 50
При написания этой строчки мы использовали обозначение аргумента x . Решение для функции x U x где x t / 2 приведены в таблице 1.
Заметим, что U 0 =1 означает, что в начальным момент времени маятник отклоняется на угол 0 57,30
Случай 1. Отсутствие электрического поля 0 0 .
Если электрическое поле отсутствует 0 =0 (EMC.3) (случай 1), то для малых
|
|
2 |
x |
|
2 x |
|
||
углов U t exp Rt cos t exp |
|
R |
|
cos |
|
|
. Для параметра |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
76 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 R |
0.03 1 при |
0 x 50 наблюдается примерно 9 пиков |
|
|||
|
|
|
|
отклонения маятника от положения равновесия. Период таких колебания
|
|
|
|
2 0 |
1, В таком случае |
|
примерно равен |
2 |
2 |
, следовательно |
|||
|
||||||
|
0 |
R |
0 |
|
||
|
|
|
|
|||
период колебаний по оси x 2 . Фазовая диаграмма (зависимость U от U ) для случая нулевого электрического поля 0 =0 эллиптическую траектория с монотонно уменьшающимися размерами полуосей. После примерно девяти колебаний движение маятника скорости маятника становятся маленькими
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
1 и координаты маятника также |
малы U |
|
x 1 |
1. |
|||
Случай 2. |
Амплитуда электрического поля |
мала q |
2 02 |
0.1. |
|||||
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для выбранных параметров (частота внешнего поля совпадает с собственной частотой математического маятника 0 , 2 0 ) характер
движения немного изменяется. Малое электрическое поле позволяет математическому маятнику создать квазистационарный режим работы.
Случай |
3 и |
случай |
4. |
|
Увеличиваем амплитуду |
электрического |
поля |
||||||||
q |
2 02 |
0.25 |
, |
q |
2 02 |
|
0.4 |
В |
этом случае |
фазовая |
диаграмма |
||||
2 |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
претерпевает некоторые изменения. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Случай |
5, |
6, |
7 |
|
Случай |
сильного |
электрического |
поля |
|||||||
q |
2 02 |
|
0.5;0.55;0.7 |
При |
дальнейшем |
увеличении |
амплитуды |
||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
электрического поля фазовая траектория сильно изменяется. Происходит очень быстрое нарастание амплитуды колебаний. Затухание в системе, пропорциональное величине , не может стабилизировать неустойчивость.
77
Зависимость |
угла |
отклонения |
Фазовая |
диаграмма, |
||
маятника |
U x |
от |
представляющая |
|||
безразмерного времени |
x t / 2 |
собой |
зависимость |
|||
U x |
от U x |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
2 2 q 0
2
0.0
0.1
0.25
0.4
0.5
0.55
78
7 |
0.7 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. EMC_2. |
Зависимость угла |
отклонения |
маятника |
U x от |
||
безразмерного |
времени x t / 2 |
и фазовая |
диаграмма, |
представляющая |
||
собой зависимость U x от U x в зависимости от параметра |
q |
2 02 |
. |
|
|||
|
|
2 |
|
Параметрический резонанс
Задача параметрического резонанса рассматривается в книге Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. (Теоретическая физика, Т.1, Механика, параграф 27). Для возникновения параметрического резонанса необходимо, чтобы круговая
частота колебаний 2 t изменялась бы по гармоническому закону
2 t 02 1 h cos t , |
(EMC.17) |
где величина h безразмерна. В этом параграфе показано, |
что состояние |
покоя системы, представляющее собой положение равновесия, будет неустойчивым. Достаточно сколь угодно слабого отклонения от этого состояния, чтобы появившееся смещение будет быстро возрастать со временем. Это явление называется параметрическим резонансом. Наиболее интенсивным образом параметрический резонанс будет проявлять себя, если частота функции t близка к удвоенной частоте собственных колебаний
2 0 . В таком случае частоту внешнего воздействия положим равной2 0 , где малая поправка удовлетворяет условию 0 . Основной моделью в теории параметрических колебаний в линейный системах служит уравнение Матьё
y t 02 1 h cos t y t 0 (EMC.15)
В нашем случае линеаризованное уравнение колебаний (EMC.12) для малых колебаний U (x) 1 имеет вид
U |
|
|
|
|
2 U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
b 2q cos |
|
2x |
U (x) 0 |
(EMC.16) |
||
Уравнение Матьё |
представляет собой |
уравнение линейного |
осциллятора |
||||||||||
с гармоническим параметрическим возбуждением. Это уравнение детально
79