Синергетика_Глава_2_01_Введение_в_синергетику

Глава 2. Детерминированный хаос

2.1. Введение в синергетику

Древние греки под хаосом понимали бесконечное пространство, существовавшее до появления жизни.

физические объекты, поведение которых во времени было строго детерминировано. Детермини́зм (от лат. determinare — «ограничивать, очерчивать, определять») — учение о взаимосвязи и взаимной определённости всех явлений и процессов, доктрина о всеобщей причинности. Согласно философскому определению детерминизма, всё происходящее в мире, включая ход человеческой жизни и человеческой истории, предопределено либо судьбой, либо богами или Богом (учение о предопределении, теологический детерминизм), либо природой

(космологический детерминизм), либо человеческой волей (антропологическо-этический детерминизм), либо развитием общества

(социальный детерминизм).

Приверженцем абсолютного детерминизма был Пьер-Симон Лаплас. Он постулировал, что если бы какое-нибудь разумное существо смогло узнать положение и скорость всех частиц в мире, оно могло бы совершенно точно предсказать все события Вселенной. Впоследствии такое гипотетическое существо было названо демоном Лапласа.

создателей теории вероятностей. Заслуги Лапласа в области чистой и прикладной математики и особенно в астрономии громадны: он усовершенствовал почти все разделы этих наук.

43

Рис. ISI_1. Лаплас состоял членом шести академий наук и королевских обществ, в том числе Петербургской Академии (1802), и членом Французского Географического общества. Его имя внесено в список величайших учёных Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни.

Дадим физическое определение детерминированной системы.

Детерминированной системой называется объект, который описывается системой дифференциальных или разностных уравнений, которые однозначно определяют будущее этого объекта, исходя из заданных начальных условий.

примерно 70 лет пока метеоролог Эдвард Лоренц (1917-2008) не обнаружил, что даже простая система из трех независимых нелинейных дифференциальных уравнения первого порядка может привести к совершенно хаотическому поведению. Эдвард Лоренц в 1963 году занимался анализом атмосферных течений. Целью его исследования было понять те трудности, которые были связаны и прогнозом погоды. Работы Э,Лоренца, значимость которой сегодня общепризнана, в течение многих

Детерминированным хаосом называются нерегулярные или хаотические движения, порожденные нелинейными системами, для которых динамические законы однозначно определяют эволюцию во времени состояния системы при известной предыстории.

Нелинейность - это необходимое, но не достаточное условие для возникновения хаотического движения. Заметим, что обычные методы решения линейных уравнений (методы Фурье) не приводят к возникновению хаотических явлений в системах. Дальнейшие исследования показали, что хаотическое поведение возникает не из-за того, что в изучаемой системе существует бесконечное количество степеней свободы. Кроме того, хаотические явления возникают не из неопределенности координат и импульсов, связанной с квантовой механикой. Хаотические явления возникают как в системах, описывающихся как классическими уравнениями, так и в системах, для описания которых требуется решение уравнений квантовой механики. Настоящая первопричина нерегулярности определяется свойствами нелинейных систем иметь экспоненциально быстро разбегающиеся фазовые траектории, лежащие в ограниченной области фазового пространства.

Перечислим примеры нелинейных систем, в которых были обнаружены хаотические явления: нелинейный маятник с возбуждением внешней силой; жидкости вблизи порога возникновения турбулентности; приборы нелинейной оптики; сложные химические реакции; взаимодействующие нелинейные волны в плазме; биологические модели развития популяций бактерий и амеб; возникновение хаотических явлений в работе сердца.

Вывод. Для многих систем, демонстрирующих хаотическое поведение ярко выражена высокая чувствительность к начальным условиям, приводящая к хаотическому поведению во времени. Такая высокая чувствительность к начальным условиям – типичное свойство многих нелинейных систем.

Эдвард Лоренц назвал высокую чувствительность к начальным условиям - эффектом бабочки. Эдвард Лоренц, как мы уже говорили, занимался вопросами предсказания погоды. Он заметил, что при исследовании уравнений, описывающих такие погодные катаклизмы как штормы и ураганы, малейшее возмущение, создаваемое крыльями бабочки, летающей где-то в американском штате Айова, может приводит к разрушительному шторму, разыгравшемуся у побережья Индонезии.

45

Несколько иное истолкование такого эффекта бабочки содержится в романе Рэя Бредбери «И грянул гром». В этом романе охотники на динозавров, используя машину времени, перемещаются в далекое прошлое. Однако такая охота обставлена жёсткими условиями: убить можно только то животное, которое должно и без этого вот-вот погибнуть (например, раненное сломавшимся деревом), а возвращаясь, необходимо уничтожить все следы своего пребывания (в том числе вытащить из тела животного пули), чтобы не внести изменения в будущее. Люди находятся на антигравитационной тропе, чтобы случайно не задеть даже травинку, поскольку это может внести непредсказуемые потрясения в историю. Во время охоты один охотник, увидев динозавра, не решается продолжать охоту, а возвращаясь к Машине времени, сходит с тропы. После возвращения в своё время охотники неожиданно обнаруживают, что их мир изменился: иная орфография языка, у власти вместо президента-либерала стоит диктатор. Причина этой катастрофы тут же выясняется: дело в том, что охотник, сойдя с тропы, случайно раздавил бабочку.

Подведем некоторые итоги хаотических явлений.

1)Можно ли предсказать по виду дифференциальных уравнений, описывающих физический процесс, реализуется ли в системе детерминированный хаос?

2)Можно ли определить понятие хаотического движения более строго с точки зрения математики и разработать для хаотического процесса некоторые количественные характеристики?

3)Означает ли существование детерминированного хаоса конец долговременной предсказуемости в физике некоторых нелинейных систем?

Рис. ISI_2. Классификация систем, которые проявляют детерминированный хаос.

46

Напомним некоторые понятия.

Консервативная система (от лат. conservo — сохраняю) — физическая система, в которой действуют стационарные потенциальные силы, а все связи в такой системе также стационарны. Для консервативной системы справедлив закон сохранения энергии.

Диссипативная система представляет собой устойчивое состояние, возникающее в неравновесной среде при условии диссипации (рассеивания) энергии, которая поступает извне. Диссипативная система иногда называется ещё стационарной открытой системой или неравновесной открытой системой. Термин «диссипативная структура» введен Ильёй Пригожиным.

Основная масса работ И.Пригожина посвящена неравновесной термодинамике и статистической механике необратимых процессов. Одно из главных достижений заключалось в том, что было показано существование неравновесных термодинамических систем, которые, при определённых условиях, поглощая вещество и энергию из окружающего пространства, могут совершать качественный скачок к усложнению (диссипативные структуры).

Диссипативная система характеризуется спонтанным появлением сложной, зачастую хаотичной структуры. В диссипативных системах

47

переход к хаотическому состоянию происходит только при наличии внешнего воздействия вследствие открытости такой системы. При переходе к хаосу в такой системе обнаруживается универсальность, заключающаяся в том, что основные свойства системы, такие как некоторые критические показатели вблизи перехода к хаосу зависят только от таких глобальный свойств системы как ее размерность.

зависящих от времени t , означает, что развивающийся регулярно во времени сигнал z t прерывается статистически распределенными промежутками

нерегулярного поведения, так называемыми перемежающимися всплесками. При изменении внешнего управляющего параметра среднее число этих всплесков нарастает до тех пор, пока движение не становится полностью хаотическим. Такие явления перемежаемости можно наблюдать в биологии при изучении эпилептиморфных явлений в электроэнцефалограмме (ЭЭГ), изучающей поверхностную активность головного мозга человека.

48

Рис. ISI_4. Множественные комплексы пик-волна при эпилепсии.

Эпилепсия – хроническое неврологическое заболевание, которое характеризуется повторяющимися, возникающими внезапно, эпилептическими приступами. В зависимости от формы эпилепсии, приступы проявляются в виде двигательных, чувствительных, вегетативных, психических нарушений. Приступы могут сопровождаться нарушением сознания различной степени.

Такие же явления можно наблюдать при анализе фибрилляции работы сердца, искажающей обычную последовательность P-QRS-T последовательность пиков сердечной деятельности на полностью хаотичное поведение.

49

Фибрилляция предсердий

Рис. ISI_5.ЭКГ фибрилляции предсердий (верхний) и нормального синусового ритма (нижний). Фиолетовая стрелка указывает на зубец P, который отсутствует при аритмии.

Фибрилля́ция предсе́рдий (ФП, синоним: мерцательная аритмия) — разновидность наджелудочковой тахиаритмии с хаотической электрической активностью предсердий с частотой импульсов 350—700 в минуту, что исключает возможность их координированного сокращения. Это одна из наиболее распространённых аритмий. Часто ФП может быть обнаружена при определении пульса и обнаружении, что сердцебиения происходят с нерегулярным интервалом. Однако окончательный диагноз выставляется по ЭКГ-признакам: отсутствие зубцов P, которые присутствуют при нормальном ритме сердца и характеризуют электрическую активность при сокращении предсердий. Вместо них появляется множество волн f, которые характеризуют фибрилляцию (то есть мерцание, дрожание) предсердий.

Рис ISI_5b Нормальный сердечный ритм

Рис. ISI_5с. Мерцательная аритмия, возникающая в предсердиях. Рисунки из статьи Wang J., Wang P., Wang S., Biomedical signal Processing and Control, 2020, V.55, P.101662

50

Странные аттракторы - динамические системы, которые характеризуются случайным блужданием своих фазовых траекторий между несколькими неустойчивыми точками. При этом любая траектория спустя некоторое время притягивается и совершает несколько вращательных движений около точек в фазовом пространстве, которые называются аттракторами.

Рис. ISI_6. Примеры хаоса в потоках и отображениях: (a) пример странного аттрактора в модели Лоренца, смотри систему (3), при классических значениях параметров σ = 10, r = 28,b = 8/3; (b)

Аттрактор Лоренца (от англ. to attract — притягивать) ― странный аттрактор, впервые найденный Лоренцем в нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений

dxdt y x

51

dzdt xy bz

При численном решении системы уравнений (VSN.1) Лоренц обнаружил, что анализируемая система при «классических» значениях параметров = 10, r =28, b = 8/3; совершает хаотическое движение вокруг двух неустойчивых фокусов. Начиная движение с любой точки с малыми значениями x, y, z , система переходит на неустойчивый фокус, вокруг

которого она начинает двигаться по раскручивающейся спирали. После нескольких витков система неожиданно уходит ко второму фокусу, где начинает также двигаться по раскручивающейся спирали, «перепрыгивает» на первую спираль, повторяя приблизительно подобное движение. Никакой периодичности в таком движении нет: и число витков на каждой из спиралей, и время пребывания около одного из фокусов выглядит совершенно случайными.

52