Синергетика_Глава_1_03_Бифуркация_Хопфа

1.3. Бифуркация Хопфа. Рождение предельного цикла. Мягкая и жесткая потеря устойчивости. Аналогия с фазовыми переходами I и II рода 1.3.1. Бифуркация Хопфа

Бифуркация Хопфа, при которой изменение параметра управляющего параметра приводит к тому, что оба характеристических значения p пересекает мнимую ось, встречается во многих физических системах. При бифуркации Хопфа происходит переход от Re p 0 к Re p 0 . Например, часто она описывает порог генерации в лазерах. Поэтому рассмотрим ее ниже более подробно. Причем не будем ограничиваться какой-то конкретной системой, а разберем сразу достаточно общий случай. Итак, предположим,

положения равновесия, ставшего неустойчивым) стала экспоненциально

с инкрементом нарастания γ > 0 и амплитудой A. Этот результат, однако, справедлив лишь в линейном приближении, когда отклонения от состояния равновесия малы. Важно отметить, что нелинейные эффекты приводят к тому, что модуль амплитуды нестационарного движения не растет

конечному пределу. При значениях управляющего параметра λ, близких к критическому значению c , этот предел может оказаться все еще мал, и для его определения можно воспользоваться следующим приемом (Л. Д. Ландау,

(линейное приближение), справедливо соотношение

Это выражение справа следует рассматривать как первый член разложения в

ряд по степеням X и X * . При учете нелинейных эффектов появляются более высокие степени в этом разложении. Ближайшие следующие члены − третьего порядка по X . Нас, однако, будет интересовать не точное значение производной, а ее среднее по времени значение. Причем усреднение подразумевается по промежуткам времени T , с одной стороны, большими по

сравнению с периодом T 2 , а с другой стороны, малыми по сравнению с характерным временем нарастания амплитуды 1/γ. Промежуток времени

Таким образом, с точностью до членов четвертого порядка малости,

где постоянная величина , называемая постоянной Ландау, может быть как положительной, так и отрицательной. Нас будет интересовать ситуация,

когда при λ>λc решение для X t 2 становится неустойчивым уже при сколь

угодно малом возмущении. Для того, чтобы реализовалась такая ситуация должно выполняться условие α>0.

Величина инкремента γ зависит от управляющего параметра λ. Вблизи

где величина D играет роль некоторой постоянной. Заметим что функцияявляется отрицательной величиной 0 при значениях c .

Если значения удовлетворяют условию c , то величина 0 . Из

выражения (BHE.5) получается зависимость установившейся амплитуды колебаний от надкритичности при c

X max c . (BHE.8)

Такую зависимость можно изобразить графически так рис. 5

Рис. BHE_1. Мягкая потеря устойчивости

2. Случай 0

Рассмотрим случай 0 . Для определения предельной амплитуды в

уравнении (BHE.4) надо учесть отрицательный член более высокого порядка. Для определенности пусть это будет отрицательное слагаемое,

Эту зависимость можно изобразить следующим образом рис. BHE_2.

Рис. ВНЕ_2. Жесткая потеря устойчивости.

Больший корень (со знаком + перед квадратным корнем) описывает верхнюю часть этой кривой, а меньший (со знаком −) соответственно нижнюю.

39

системе ничего не происходит и она остается в состоянии равновесия c X max . При прохождении же значения c амплитуда колебаний скачком возрастает от нуля до некой конечной величины, определяемой верхней веткой кривой. В интервале c <λ< c , где в наличии имеются два устойчивых решения, состояние системы метастабильно. Одно из решений устойчиво по отношению к бесконечно малым, но неустойчиво по отношению к возмущениям конечной амплитуды.

При уменьшении параметра λ система возвращается в состояние равновесия (скачком) не при λ= c , а только, при λ = c . Другими словами,в

поведении системы имеется так называемый гистерезис: эволюция системы (при изменении управляющего параметра) в одну сторону не совпадает с ее эволюцией в обратную сторону.

Таким образом, в обоих рассмотренных случаях в результате потери устойчивости стационарное состояние переходит в колебательный периодический режим. В первом случае после потери устойчивости амплитуда колебаний пропорциональна квадратному корню из надкритичности. Этот вид потери устойчивости называется мягкой потерей устойчивости, так как устанавливающийся колебательный режим при малой надкритичности мало отличается от состояния равновесия.

40

Во втором случае перед тем, как установившийся режим теряет устойчивость, область притяжения этого режима становится очень малой, и всегда присутствующие случайные возмущения выбрасывают систему из этой области еще до того, как область притяжения полностью исчезнет.Этот вид потери устойчивости называется жесткой потерей устойчивости. При этом система уходит со стационарного движения скачком и перескакивает на иной режим движения. Другой характерной особенностью поведения системы в этом случае является уже упомянутый выше гистерезис.

1.3.2. Аналогия с фазовыми переходами

Между двумя перечисленными выше механизмами потери устойчивости и фазовыми переходами можно провести определенную аналогию. Для этого

ином виде, введя потенциальную энергию V z .

1.Для «мягкого» режима» 0 уравнения (BHE.4) можно переписать в виде

dz dV z ; dt dz

2.Для «жесткого» режима 0 ; 0 уравнения (BHE.9) можно переписать в виде

В выражениях (BHE.12), (BHE.13) функция , зависит от управляющего параметра по закону (BHE.7): D c . Отметим, что уравнения (BHE.12) и (BHE.13) описывают передемпфированное движение частицы в

трения. При такой формулировке становится ясным, что устойчивые состояния равновесия − это точки минимума функции V z рис. (BHE_3). При этом возбуждение в мягком режиме аналогично фазовому переходу II

Рис. BHE_3: V z для мягкого режима.

А жесткий режим напоминает фазовый переход I рода с присущим ему гистерезисом рис. BHE_4.

42