Синергетика_Глава_1_02_Динамические_системы
.pdf
Значения параметра λ=0, λ=2, λ=4 называются критическими или бифуркационными, так как в этих точках качественно меняется характер
решения. При λ>2 на плоскости |
X1; X 2 |
при численном решении |
нелинейных дифференциальных уравнений (DSE.12) образуется устойчивый |
||
предельный цикл с точкой X1(s) 1, |
X 2(s) |
внутри (случаи 4,5). С какой |
бы начальной точки мы не стартовали, в конце концов мы окажемся на этом предельном цикле рис. DSE_6. Зависимости X1 t и X 2 t в этом случае имеют характер релаксационных колебаний с очень острыми пиками.
Среди трех бифуркаций при значениях управляющего параметра λ =0, 2, 4 в предыдущей задаче, одна заслуживает особого внимания. Это бифуркация при значении λ =2. При λ =2 в характеристических значениях p
p1,2 |
|
2 |
|
|
|
|
p ip . |
|
|
2 |
i |
1 |
|
|
(DSE.17) |
||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
реальная часть меняет знак (обращаясь при этом значении в нуль).
Особая точка
|
X1(s) |
1; |
X 2(s) . |
(DSE.18) |
из устойчивой при |
0 2 становится |
неустойчивой при 2 4 . В |
||
результате |
этого на |
плоскости ( X1 , X 2 |
) возникает предельный цикл и |
|
функции |
X1 t и |
X 2 t |
становятся периодическими функциями времени. |
|
Примечательно, что размеры предельного цикла увеличиваются с ростом параметра λ (рис. DSE_8).
При малой надкритичности ε ≡ λ − 2 |
|
1 это есть гармонические |
|||
колебания с частотой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im p p |
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
32
Рис. DSE_7: Рождение предельного цикла. Показаны рисунки по мере увеличения размеров орбиты с λ =2.01, 2.02, 2.05, 2.1, 2.2 соответственно.
Рис. DSE_8. Зависимости X1 t и X 2 t при значении λ = 2.01.
Фазовая траектория (предельный цикл) в этом случае представляет собой эллипс, размеры которого (главные оси) a и b соответственно амплитуда колебаний увеличиваются пропорционально квадратному корню из
надкритичности: a b 
2 
c ; c 2
Ввиду своей важности, эта бифуркация в физике получила специальное название бифуркации Хопфа. При изменении параметра λ оба
характеристических значения |
p пересекают мнимую ось на комплексной |
плоскости [ p ] ( p p ip |
т.е. плоскости ( p 0) и ( p 1)) рис. |
DSE_9. |
|
33
Рис. DSE_9. Траектории характеристических значений в зависимости от управляющего параметра λ.
В результате стационарное решение (DSE.18) становится неустойчивым и в системе возникают периодические колебания. Интересно
отметить, |
что частота этих колебаний ω в критической точке не имеет |
|
никаких |
особенностей. При 2 величина |
p Im p 1 конечна. |
Система как бы заранее подготовилась к этим колебаниям. Они существовали и в докритическом режиме (при 0 2 ). Однако там эти колебания были затухающими, их амплитуда убывала экспоненциально со временем. Система, выведенная из положения равновесия возвращалась, в него следующим образом (см. рис. (DSE_10)).
Рис. DSE_10. Релаксация системы к равновесному положению.
Однако по мере приближения (снизу) параметра λ к критическому значению c = 2 затухание колебаний становилось все меньше и меньше и в конце концов в точке λ =2 обращалось в ноль. При λ>2 в линейной теории затухание колебаний сменяется их усилением. Однако, учет нелинейных эффектов приводит к существованию предельного цикла.
34