Синергетика_Глава_1_02_Динамические_системы

нелинейных уравнений, взятых в стационарном состоянии. Следовательно aij являются комбинациями параметров некой исходной модели. При

изменении какого-либо параметра исходной нелинейной модели будут меняться и коэффициенты соответствующей линейной системы, следовательно, будут меняться величины σ, ∆. При переходе через оси координат σ, ∆ (рис. DSE_3), при которых изменяется знак σ и ∆, характер фазового портрета качественно меняется. Поэтому такие границы называются бифуркационными — по разные стороны от границы система имеет два качественно различных фазовых портрета и, соответственно, два разных типа поведения.

В науке синергетика, которую мы будем изучать в дальнейшем, под термином «бифуркация» мы будем понимать качественную перестройку свойств системы, которая сопровождается изменением ее симметрии.

Нужно отметить, что бифуркационными являются только переходы через оси координат и , поскольку невозможно постепенным непрерывным изменением фазового портрета перейти, например, от узла к седлу или от неустойчивого фокуса к устойчивому. Переходы устойчивый узел – устойчивый фокус (неустойчивый узел – неустойчивый фокус) не являются бифуркационными, поскольку можно постепенным непрерывным изменением фазового портрета перейти от узла к фокусу.

1.2.3. Анализ двух нелинейных дифференциальных уравнений

В качестве примера рассмотрим следующую задачу

dXdt1 1 1 X1 X12 X 2

22

Для простоты предположим, что величина 0 . Отметим, что в функции F1 X1; X2 есть два положительных слагаемых 1 X12 X 2 , которые называются слагаемыми «прихода» и одно слагаемое «ухода» 1 X1 , имеющее знак минус. Если бы в первом дифференциальном уравнении были

Точно такие же рассуждения о положительных слагаемых «прихода» и

Следовательно первое решение X1( s) 0 не подходит на роль стационарного

23

Характеристическое уравнение (DSE.8) для определения параметров p :

Согласно критерию Гурвица стационарное состояние с λ<2 является устойчивым, так как Re p1,2 0 . Корни этого характеристического уравнения

параметра λ, определяющего величину 2 4 4 , особая точка имеет следующий вид:

25

Рис. DSE_5. Фазовые портреты для различных значений параметра p .

Подведем некоторые итоги зависимости p .

λ ≤ 0 − устойчивый узел, Re p 0 ; 2 4 0 (стр.18, Таблица, рис. 1) ;

0 <λ <2 − устойчивый фокус, Re p 0 ; 2 4 0 (стр.18, Таблица, рис. 3);

λ=2 − устойчивый центр, Re p 0 ; 2 4 0 (стр.19, Таблица, рис.6);

2<λ<4 −неустойчивый фокус, Re p 0 ; 2 4 0 (стр.19, Таблица, рис.4);

λ ≥ 4 − неустойчивый узел, Re p 0 ; 2 4 0 (стр.18, Таблица, рис. 2).

Проиллюстрируем для различных значений характер движения, численно интегрируя нелинейную систему уравнений (DSE.12). При таком интегрировании мы будем учитывать все нелинейные слагаемые.

26

стационарном состоянии X1(s) 1; X 2( s) −1. Пример устойчивого узла.

Рис. DSE_6_1b Уравнение движения для X1 t . На больших временах

X1 t X1(s) 1.

Рис. DSE_6_1c Уравнение движения для X 2 t . На больших временах

X2 t X 2(s) −1.

27

Рис. DSE_6_2b. Уравнение движения для X1 t . На больших временах

X1 t X1(s) 1.

Рис. DSE_6_2c. Уравнение движения для X 2 t . На больших временах

X2 t X 2(s) 1.8.

28

3.Случай 2. Начальные условия X1 0 0 ; X 2 0 0. Стационарные

решения X1(s) 1; X 2(s) 2.

Рис. DSE_6_3b Уравнение движения для X1 t . На больших временах решение X1 t представляет собой установившееся колебание.

Рис. DSE_6_3c. Уравнение движения для X 2 t . На больших временах

X 2 t представляет собой установившееся колебание.

29

неустойчивого фокуса, превращающегося в предельный цикл.

Рис. DSE_6_4b Уравнение движения для X1 t . На больших временах решение X1 t представляет собой установившееся колебание.

Рис. DSE_6_4c Уравнение движения для X 2 t . На больших временах

X 2 t представляет собой установившееся колебание

30

неустойчивого фокуса, превращающегося в предельный цикл.

Рис. DSE_6_5b Уравнение движения для X1 t . На больших временах решение X1 t представляет собой установившееся колебание.

Рис. DSE_6_5c. Уравнение движения для X 2 t . На больших временах

X 2 t представляет собой установившееся колебание

31