Синергетика_Глава_1_02_Динамические_системы

1.2. Динамические системы с одной и двумя степенями свободы

1.2.1. Динамические системы с одной степенью свободы

Автономные динамические системы с одной степенью свободы описываются одним уравнением вида

и сравнительно легко интегрируются известным методом разделения переменных. Для этого надо переписать уравнение (DSE.1) в виде

решения уравнения (DSE.1) существует, если функция F X обращается в

каких-то точках в ноль (на вещественной оси). Эти стационарные решения могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми. Ниже на рис. 7 приведен пример функции F X , которая имеет три корня в точках A, B и C, где

F X обращается в ноль.

Рис. DSE_1: Устойчивые и неустойчивые особые точки уравнения (DSE.1).Пусть точка O соответствует значению X 0. На участке OA

12

Стрелки на горизонтальной оси показывают направление изменения величины X в случае отклонения от состояний равновесия A, B и C. Правила проставления стрелок очень просты. Поскольку знак функции F(X) совпадает со знаком производной dX/dt, то там, где функция F(X)>0, стрелка направлена вправо, т. е. X(t) растет со временем, а там, где F(X)<0, она направлена влево, т. е. X(t) убывает со временем, в полном соответствии со знаком производной dX/dt. На участке OA F(X)>0, поэтому стрелка направлена слева направо, так как при положительной производной dX/dt величина X(t) растет со временем. На участке АВ F(X)<0, поэтому стрелка направлена налево, и величина X(t) убывает со временем. На участке ВС и при больших значениях С величина производной положительна dX/dt>0, следовательно X(t) растет со временем и стрелки направлены направо. Взаимное распределение стрелок в окрестностях различных точек показывает, что состояние A является устойчивым (стрелки и слева и

временем.

неустойчивая точка. Нетрудно видеть, что тогда устойчивым особым точкам

14

рис. DSE_2B.

Рис. DSE_2B. График функции V X для интервала аргумента 0.7< X <3.4.

15

Из условия существования нетривиального решения однородной системы алгебраических уравнений получаем характеристическое уравнение

Решение системы (DSE.6) есть линейная комбинация экспонент: x1 t C11 exp p1t C12 exp p2t

x2 t C21 exp p1t C22 exp p2t . (DSE.9)

Свойство решений (DSE.9) зависит от вида корней или коэффициентов

которые будут рассмотрены в дальнейшем. Особыми (неподвижными)

точками являются: узлы, фокусы, центры, седла.

колебаний с экспоненциальным затуханием амплитуды. Если вещественная

неподвижная особая точка называется седловой. К седловой точке примыкают четыре траектории, которые представляют собой две интегральные кривые. С увеличение времени t по двум траекториям xA t

и xB t изображающая точка приближается к особой точке. В тоже самое время по двум другим траекториям xC t и xD t изображающая точка удаляется от особой седловой точки. Таким образом, седловая точка является существенно неустойчивой точкой. Между указанными траекториями xA t , xB t , xC t и xD t расположены четыре области, содержащие континуум

интегральных кривых гиперболической формы. Эти кривые не достигают особой седловой точки.

Лекции по математическим моделям в биологии.

18

===========================================================

Рис. DSE_3. Шесть типов стационарных состояний в системе в двумя степенями свободы

Существует 6 возможностей, которые соответствуют 6 рисункам DSE_3. 1) p1 и p2 действительные отрицательные числа (устойчивый узел).

Совершенно устойчивый режим узлового типа. Система совершает апериодически затухающее движение, приближаясь к положению равновесия.

2) p1 и p2 − действительные положительные числа (неустойчивый узел).

Неустойчивый режим узлового типа. Система удаляется от положения равновесия, совершая апериодическое самовозбуждающее движение. Оно при определенных условиях может перейти в предельный цикл.

3) p1 и p2 − комплексные числа с отрицательной действительной частью

(устойчивый фокус). Устойчивый фокус. Система совершает периодические затухающие колебания и асимптотически приближается к положению равновесия.

4) p1 и p2 − комплексные числа с положительной действительной частью

(неустойчивый фокус). Неустойчивый фокус. Этот тип движения соответствует периодическим колебаниям с нарастающей амплитудой. В таком случае говорят о режиме самовозбуждающихся колебаний. В реальных системах нарастание амплитуды обычно ограничено физическими процессами, так что возникает устойчивое периодическое движение с постоянной во времени амплитудой. Фазовая траектория при этом накручивается на предельный цикл, соответствующий устойчивым автоколебаниям.

5) p1 и p2 − действительные числа, имеющие разные знаки (неустойчивое седло).

Неустойчивый режим типа седла. При малом отклонении от положения равновесия система начинает от него удалятьсяв неустойчивом направлении. В случае, если решения должны быть конечными, всегда существует два новых стабильных равновесных состояния, к которым приближается система. В свою очередь существование двух устойчивых состояний позволяет создать систему типа тригера. Он может находиться в одном из двух своих устойчивых состояний A или B бесконечно долго. Внешним возбуждением достаточной амплитуды можно переводить его из одного устойчивого состояния в другое. Схематически фазовый портрет тригера представлен на рис. DSE_4.

6) p1 и p2 − чисто мнимые числа (устойчивый центр). Устойчивый режим

центрального типа. Поскольку в этом случае оба корня чисто мнимые, наблюдаются незатухающие колебания и фазовая траектория системы представляет собой эллипс. Типичный пример такой системы − одномерный гармонический осциллятор без трения.

20

Рис. DSE_4: Фазовый портрет триггера с двумя устойчивыми состояниями

A и B.

Для анализа устойчивости необязательно знать явное решение характеристического уравнения. По критерию Гурвица асимптотически устойчивый режим при выполнении неравенств

Re p1 0 и Re p2 0 (DSE.10)

осуществляется, когда все коэффициенты характеристического уравнения (DSE.8) положительны

устойчивый режим.

Если действительные части одного или обоих корней характеристического уравнения равны нулю, то для анализа состояния равновесия необходимо рассматривать члены более высокого порядка малости в разложении в ряд Тейлора правых частей уравнений (DSE.6).

Напомним, что коэффициенты линейной системы aij вычислялись, как соответствующие частные производные правых частей исходных

21