Синергетика_Глава_1_01_Системы_дифференциальных_уравнений

Мы можем рассматривать решение системы уравнений (VDE.2)

некоторую точку в n мерном фазовом пространстве системы. С изменением времени t эта точка будет описывать некоторую траекторию рис. VDE_1. Взяв другое начальное условие, мы получим другую траекторию и т. д.

Рис. VDE_1: Траектория системы в трехмерном фазовом пространстве.

Если уравнения в системе (VDE.2) независимы, то при заданном начальном

условии

у этой системы существует единственное решение, удовлетворяющее этим начальным условиям. Среди всех возможных решений системы (VDE.2) важную роль играют так называемые стационарные решения, т. е. решения, не зависящие от времени.

Условие существования стационарных решений системы (VDE.2) имеет вид

X (s) , которые в теории дифференциальных уравнений называются особыми точками, в то время как все прочие точки носят название обыкновенных точек (регулярных). Если любую из этих особых точек взять в качестве начального состояния, то система будет находиться в них неограниченно долго. Это так называемые состояния равновесия.

5

Бывают, однако, устойчивые и неустойчивые состояния равновесия. Устойчивым называется такое состояние, когда при бесконечно малом отклонении от него система вновь в него возвращается. Неустойчивая особая точка −это соответственно такая точка, при бесконечно малом отклонении от

которой система удаляется от нее навсегда. Если некоторое состояние X (s) является устойчивым, то, по Ляпунову, критерий асимптотической

устойчивости состояния X (s) имеет вид

X t X t X (s) 0 при t (VDE.6)

Вообще характерной особенностью систем нелинейных уравнений (VDE.2)

является то, что они в определенных областях пространства параметров B допускают существование нескольких решений (и необязательно стационарных). Тогда нахождение этих решений не означает еще решение задачи, так как некоторые из решений могут оказаться неустойчивыми. Поэтому в нелинейных задачах надо не только найти решение, но и исследовать его на устойчивость. Если же оказываются устойчивыми несколько решений, то тогда в фазовом пространстве системы надо найти области начальных значений, которые приводят к этим решениям, и определить границы этих областей. Рассмотрим ниже в качестве примера задачу на устойчивость стационарных состояния.

Пусть X (s) есть стационарное решение нашей системы уравнений (VDE.2)

Вправой части уравнений (VDE.8) использовано правило немого

суммирования Эйнштейна, согласно которому: если в выражении

6

встречается дважды повторяющийся индекс j 1,2,..n , то это означает, что

n

по этому немому индексу проведено суммирование aij x j aij x j .

j 1

По математической терминологии система (VDE.8) представляет собой систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с

X j X X

Теория устойчивости для таких систем линейных дифференциальных уравнений (VDE.8) хорошо развита.

суммирования с дельта символом Кронекера ij , можно сделать вывод о том, что нетривиальное решение такой системы алгебраических уравнений для

xi t Ci exp pt , отсчитываемое от этой особой точки X t X (s) x t ,

экспоненциально возрастает со временем t . Для устойчивости особой точки необходимо, чтобы у всех корней p выполнялось бы условие Re p 0 .

Теперь рассмотрим топологию траекторий в n - мерном пространстве

7

состояний системы: X {X1, X2 ,..Xn}. Предположим, что наша система уравнений (VDE.2) имеет однозначное решение. Это означает, что через каждую обыкновенную (регулярную) точку нашего фазового пространства X t проходит одна и только одна траектория. Следовательно в

Через обыкновенную точку в фазовом пространстве проходит одна и только одна траектория. Однако, в особых точках однозначность теряется и траектории могут пересекаться. Вследствие однозначности решения

никакая траектория, исходящая из некоторой (обыкновенной) точки X 0 в некоторый момент времени t0 , не может к конечному моменту времени достигнуть какой-нибудь особой точки.Это противоречило бы

единственности решения при заданном начальном условии. Однако это становится возможным при t → ∞. Таким образом, система достигает (или

покидает) стационарные состояния X (s) только в пределе t → ±∞. Не существует движений, ведущих за конечное время к стационарным состояниям. Траектории в фазовом пространстве вблизи устойчивых особых точек могут быть двух типов (или их комбинациями). Если устойчивая особая точка узел, то траектории вблизи нее образуют своеобразный ”ежик” рис. 2. Зависимость координат от времени представляет собой монотонно затухающие кривые.

Рис. VDE_2. Топология траекторий вблизи узла.

8

В том случае, если устойчивая особая точка фокус, то траектории приближаются к ней, закручиваясь вокруг нее по спирали − рис. 3: В этом случае временная зависимость Xi t носит колебательный и затухающий характер.

Рис. VDE_3: Топология траекторий вблизи фокуса.

Таким образом, устойчивые особые точки притягивают к себе траектории. Обратив время вспять, мы получим неустойчивые особые точки, которые отталкивают от себя траектории. В этом случае траектории не сходятся к этим точкам, а наоборот, расходятся от них. Устойчивые особые точки часто называют аттракторами, а неустойчивые − репеллерами.

Существует еще один важный тип особых точек. Это так называемые седловые точки. По одним направлениям они притягивают траектории, а по другим – отталкивают, как изображено на рис. VDE_4.

Рис. VDE_4: Топология траекторий вблизи седловой точки.

Аттракторами могут служить не только точки, но и целые траектории. Классическим примером может служить предельный цикл Пуанкаре C

рис. VDE_5.

9

Рис. VDE_5: Предельный цикл Пуанкаре.

На рис. VDE_5 изображена замкнутая в фазовом пространстве траектория, обладающая тем свойством, что все другие траектории в ее окрестности являются спиралями, закручивающимися в направлении C . Очевидно, что предельный цикл соответствует периодическому движению системы. Предельный цикл может также быть неустойчивым. В этом случае все траектории от него отталкиваются.

В дальнейшем мы будем исследовать еще одно такое состояние в фазовом пространстве, которое называется «центром». Центр представляет собой замкнутые траектории вокруг некоторой точки, которая будет называться центром.

Притягивающая траектория (аттрактор) может также иметь весьма причудливую форму рис. VDE_6. Она незамкнута и выглядит чрезвычайно запутанной, заполняя целиком некоторую область в фазовом пространстве, как правило, с дробной размерностью − фрактал.

Рис. VDE_6: Странный аттрактор.

Движение по такой траектории хаотично и очень чувствительно к начальным условиям. Такой аттрактор поэтому называют странным

аттрактором.

10

Странными аттракторами называются динамические системы, которые характеризуются случайным блужданием своих фазовых траекторий между несколькими неустойчивыми точками. При этом любая траектория спустя некоторое время путешествий в фазовом пространстве притягивается и «садится» на некоторую выделенную область в фазовом пространстве. Эти особые точки в фазовом пространстве и называются странными аттракторами.

Рис. VDE_7. Изображающая точка в фазовом пространстве движется по интересным траекториям, которые имеют области притяжения.

С траекториями странного аттрактора в фазовом пространстве можно ознакомиться на сайте https://nplus1.ru/material/2019/09/06/chaosreigns

11