Pr_Full_20210924_Синергетика_ 5_курс_Осень

Программа «Синергетика» для бакалавров ( 5 курс )

Глава 1. Математическое введение

1.1. Системы нелинейных дифференциальных уравнений. Наука синергетика. Пространство состояний или фазовое пространство. Дифференциальные уравнения описывающие динамику системы в фазовом пространстве. Фазовые траектории. Начальные условия. Стационарные решения. Особые точки и их классификация. Условия устойчивости и неустойчивости. Линеаризация систем нелинейных дифференциальных уравнений. Проект решения дифференциального уравнения, определяющего поведение во времени. Характеристическое уравнение, определяющее спектр возможных значений параметра p , от которого зависит поведение решения во времени. Однозначность решения системы дифференциальных уравнений. Понятие узла. Характерная картина фазового пространства и зависимость решения от времени. Характерная картина фокуса и зависимость решения от времени. Седловые точки и зависимость решения от времени. Предельный цикл как пример периодического решения. Понятие странного аттрактора. Движение изображающей точки в фазовом пространстве в случае задачи о странном аттракторе.

1.2. Динамические системы с одной и двумя степенями свободы.

1.2.1Анализ двух нелинейных дифференциальных уравнений.

фазовой плоскости в следующих случаях: устойчивый узел, неустойчивый узел, устойчивый фокус, неустойчивый фокус, седло (неустойчивая точка), центр (устойчивая точка). Критерий Гурвица. Понятие бифуркации.

1.2.3. Анализ двух нелинейных дифференциальных уравнений:

Процедура усреднения по времени. Учет слагаемых четвертого порядка

рода.

Глава 2. Детерминированный хаос

2.1.Введение в синергетику. Введение. Определение хаоса. Примеры детерминированных систем. Определение детерминированного хаоса. Эффект бабочки. Высокая чувствительность к начальным условиям для систем, подверженных хаотическому поведению. Консервативные системы. Диссипативные системы. Определение бифуркации. Определение перемежаемости. Примеры: электроэнцефалограмма (ЭЭГ) при эпилептическом ударе, фибрилляция работы сердца. Фазовое пространство динамических систем. Странный аттрактор. Аттрактор Лоренца.

2.2.Основные идеи синергетики. Предмет науки синергетики. Процесс самоорганизации. Случайность, необратимость, неустойчивость. Открытые системы далекие от состояния термодинамического равновесия. Возрастание флуктуаций. Нарушение симметрии при возникновении структур.

2.3. Нелинейный маятник. Рисунок математического маятника. Цилиндрическая система координат. Кинетическая и потенциальная энергия математического маятника в цилиндрической системе координат. Начальные условия для математического маятника, без начальной скорости. Условие сохранения энергии в произвольный момент времени

колебаний математического маятника при малых углах отклонения от равновесия. Характер колебаний математического маятника при больших углах отклонения от равновесия Появление высших гармоник в спектре Фурье при больших углах отклонения от равновесия 0 2 .

2.4. Нелинейный маятник с диссипацией, подвергающийся действию периодической вынуждающей силы, связанной с внешним электрическим полем. Функция Лагранжа такого маятника. Диссипативная функция

D 12 V 2 12 l2 2 . Изменение энергии такого маятника. Уравнения

движения t математического маятника с диссипацией, подвергающегося действию как силы тяжести, так и силы, связанной с периодическим во

Матье с гармоническим по времени коэффициентом. Анализ решений этого уравнения: без внешнего электрического поля, в слабом электрическом поле, и сильном электрическом поле. Параметрический резонанс. Устойчивость решений уравнения Матье.

2.5. Эксперимент Бенара. Этапы переноса тепла в эксперименте Бенара: теплопроводность, конвективные валы, турбулентный перенос. Понятие

Количественное описание эксперимента Бенара. Уравнения Навье Стокса. Уравнения странного аттрактора. Изменение спектра мощности Фурье при увеличении числа Рэлея. Первый критерий хаотического движения.

2.6. Реакция Белоусова-Жаботинского. Физические процессы, происходящие в системе реакций Белоусова-Жаботинского. Количественное описание системы реакций Белоусова-Жаботинского. Пространственно-временные структуры в реакции Белоусова-Жаботинского. Среднее значение концентрации ионов церия. Отклонение концентрации ионов церия от своего среднего значения. Корреляционная функция для флуктуаций ионов церия. Поведение корреляционной функции со временем для отклонений от среднего значения концентрации ионов церия. Второй критерий хаотического поведения системы, описывающий зависимость корреляционной функции Cor от времени .

2.7. Неинтегрируемая классическая система Хенона-Хейлеса. Компьютерные модели систем, в которых наблюдаются явления хаоса. Функция Гамильтона двух гармонических осцилляторов, связанных друг с

графика зависимости неподвижных точек x* от управляющего параметра

и поведение показателя Ляпунова для отображения Ферхюльста.

Глава 3. Синергетика в биологии

3.1. Пространственно-временные структуры в биологии. Разноообразие пространственно-временных структур в биологии и медицине. Проблема формообразования организмов. Образование паттернов. Бифуркационные переходы. Явление диффузии. Научные работы Тьюринга. Модели морфогенеза. Распространение волн возмущений. Автоволновые процессы в химических и биохимических реакциях. Нелинейная математическая модель Тьюринга для двух компонент X1 r ,t и X 2 r ,t , учитывающая

процессы диффузии этих компонент. Диффузионная или тьюринговсая неустойчивость.

3.2. Модель Брюсселятора. История возникновения модели Брюсселятора. Исследование устойчивости простейшей линеаризованной модели брюсселятора с одним управляющим параметром . Линеаризация системы уравнений брюсселятора. Характеристическое уравнение для определения параметра p . Неустойчивость упрощенной модели брюсселятора при2 . Бистабильное поведение химических систем.

3.3. Численное решение модели брюсселятора с двумя постоянными A и B, учитывающей процессы диффузии двух компонент. Анализ устойчивости. Устойчивость модели Брюсселятора при отсутствии диффузии D1 D2 0 .

Устойчивость модели Брюсселятора при учете диффузии двух компонент D1, D2 0 . Численное решение модели Брюсселятора.

3.4. Синергетика бактерий. Морфология бактерий. Самоорганизация колоний бактерий. Математическая модель хемотаксиса. Концентрация бактерий b r . Концентрация хемоаттрактанта c r . Диффузионный поток бактерий

J D . Поток, связанный с хемотаксисом Jch . Поток бактерий Jb как сумма потока, связанного с хемотаксисом Jch и диффузионного потока J D . Одномерное распределение бактерий. Простейшие математические модели,

бактерий в условиях высокого содержания пищи. Создание пространственных структур в колониях бактерий в условиях враждебности окружающей среды. Самоорганизация бактерий Esherichia coli. Простейшая математическая модель формирования регулярных структур в виде колец, радиальных полос или пятен. Связанная система для концентрации клеток бактерий и концентрации хемоаттрактанта. Пространственно - неоднородные структуры колоний бактерий в более сложной математической модели. Сравнение с экспериментом.

3.5. Синергетика структур бактерий в придонных отложениях океана. Создание паттернов неоднородного скопления микроорганизмов. Усовершенствованная модель Вольтерра-Лотки, описывающая взаимодействие питательной среды и бактерий. Рисунки паттернов Тьюринга, которые получаются в результате численного решения модели Вольтерра-Лоттки. Снимки пространственно-временных моделей.

3.6 Синергетика амеб. Жизненный цикл амеб. Амебы Dictyostelium discoideum (Dd). Дифференцировка и морфогенез. Мелкомасштабная кластеризация клеток. Крупномасштабная агрегация клеток на фазе струеобразования. Образование многоклеточного организма. Создание плодового тела. Математическое моделирование процесса развития колоний амеб. Мелкомасштабная кластеризация клеток. Анализ спонтанного нарушения однородности в популяции клеток, обладающих монотонной секреторной и хемотактической активностью. Флуктуация концентрации клеток (скопление). Повышенный синтез аттрактанта. Нарастание расслоения клеток из-за хемотактического потока клеток из окрестностей скопления. Уравнения баланса аттрактанта и концентрации клеток. Анализ устойчивости. Усиление выделенной гармонической моды возмущения плотности. Крупномасштабная агрегация амеб в фазе формирования струй и спиралей для амеб Distyostelium discoideum. Формирование многоклеточного тела – слизевика. Создание плодового тела. Модель Шнакенберга. Модель ФитцХью-Нагумо.

3.7. Синергетика работы сердца. Строение сердца. Синоатриальный и атриовентрикулярный узлы сердца. Основные пейсмейкеры сердца (создатели ритмов). Пучок Гиса. Волокна Пуркинье. Частота сокращений сердца (ударов в минуту) при тахикардии и брадикардии. Вегетативная (автономная) нервная система. Симпатический и парасимпатический отдел вегетативной нервной системы. Примеры функциональных (кардиологических) проб.

3.8 Определение электрокардиограммы. Рисунок P-QRS-T комплекса сердечного ритма. Устройство кардиографа. Определение ритмограммы RRn . Вариабельность сердечного ритма. Основные функциональные

(кардиологические пробы): активный и пассивный тилт тест, велоэргометрия, бегущая дорожка (тредмил-тест), дыхательные пробы, лекарственные и стрессовые пробы.

3.9 Определение аритмий сердца. Основные свойства работы сердечной мышцы. Автоматизм работы сердца. Понятие рефрактерного периода работы сердца. Автоволновые процессы. Основные нелинейные уравнения параболического типа, описывающие автоволновые процессы. Возбудимый, бистабильный и автоколебательный тип работы элемента активной среды. Пейсмейкеры. Бегущие волны. Спиральные волны. Экстрасистолия в работе сердца.

3.10.1-3.10.4 Статистические методы оценки вариабельности сердечного ритма : RRNN – средняя длительность интервалов, HR – частота сердечных сокращений, SDNNстандартное отклонение, RMSSD –среднеквадратичная разность – квадратный корень из среднего квадрата разностей величин последовательных пар RR интервалов. Анализ гистограммы сердечного ритма. Индекс напряжения Баевского.

3.10.5.Спектральный анализ вариабельности сердечного ритма.

компоненты сигнала Zk . Диапазоны частот: VLF – ультранизкие частоты

(0,0033-0,04 гц), низкие частоты LF (0,04-0,15 Гц), высокие HF (0,15-0,40 Гц). Спектр мощности сердечного ритма для преобладающего влияния парасимпатической иннервации на ритм сердца. Спектр мощности сердечного ритма для преобладающего влияния симпатической иннервации на ритм сердца.