Min_20210924_Синергетика_5_курс_Осень
.pdf
Вопросы минимума по курсу «Синергетика» для студентов 5 курса (специальность «Биофизика»)
Глава 1. Математическое введение
1. Основная идея синергетики.
2. Фазовое пространство размерности n для вектора состояния X .
3.Система дифференциальных уравнений первого порядка для вектора состояния X .
4.Траектория системы в трехмерном фазовом пространстве.
5.Условие нахождения стационарных состояний. Уравнение для нахождения особых точек.
6.Определение устойчивых и неустойчивых состояний равновесия.
7. Введение малых отклонений x t относительно стационарных состояний.
8. Линеаризация системы нелинейных дифференциальных уравнений для малых отклонений xi t . Вид двух дифференциальных уравнений первого
порядка для xi t .
9. Проект решения системы уравнений, описывающий развитие малого
отклонения во времени |
xi t . |
10. Характеристическое |
уравнение для определения параметра p , |
описывающего экспоненциальное развитие малого возмущения со временем.
11. Определение странного аттрактора.
12. Фазовый портрет странного аттрактора.
13. Рисунок устойчивых и неустойчивых точек для одномерного
дифференциального уравнения |
dX |
F X |
в случае знакопеременной |
|
dt |
||||
|
|
|
||
функции F X . |
|
|
|
|
14. Разложение в ряд Тейлора системы двух |
дифференциальных уравнений. |
|||
Явный вид двух линеаризованных дифференциальных уравнений для
отклонений |
x1 t и x2 t . |
|
|
15. Явный |
вид корней характеристического уравнения для параметра p , |
||
описывающего экспоненциальное поведение x1 t и |
x2 t , выражающихся |
||
через параметр a11 a22 и |
a11a22 a12a21 . |
|
|
16.Рисунок фазового пространства для устойчивого узла.
17.Рисунок фазового пространства для неустойчивого узла.
18.Рисунок фазового пространства для устойчивого фокуса.
19.Рисунок фазового пространства для неустойчивого фокуса.
20.Рисунок фазового пространства для седла (неустойчивая точка).
21.Рисунок фазового пространства для центра (устойчивая точка).
22.Что происходит с вещественной частью Re p при бифуркации Хопфа?
23. Рисунок фазового пространства X 2 F X1 и уравнений движения
X1 t и X 2 t для конкретной модели двух нелинейных дифференциальных
уравнений с одним управляющим параметром <0 |
( раздел 1.2.3). |
24. Рисунок фазового пространства X 2 F X1 и |
уравнений движения |
X1 t и X 2 t для конкретной модели двух нелинейных дифференциальных уравнений с одним управляющим параметром 0 2 ( раздел 1.2.3).
25. Рисунок фазового пространства X 2 F X1 и уравнений движения
X1 t и X 2 t для конкретной модели двух нелинейных дифференциальных уравнений с одним управляющим параметром 2 ( раздел 1.2.3).
26. Рисунок фазового пространства X 2 F X1 и уравнений движения
X1 t и X 2 t для конкретной модели двух нелинейных дифференциальных уравнений с одним управляющим параметром 2 ( раздел 1.2.3).
27. Дифференциальное уравнение первого порядка, |
описывающее развитие |
|||||||
во времени квадрата модуля амплитуды |
|
X t |
|
2 , |
включающее слагаемое |
|||
|
|
|||||||
|
X t |
|
4 . |
|
||||
|
|
|
||||||
28.Зависимость X max от управляющего параметра , отличающего от критического значения c для мягкого режима потери устойчивости.
29.Зависимость X max от управляющего параметра , отличающего от критического значения c для жесткого режима потери устойчивости.
30.График зависимости V z для мягкого режима потери устойчивости (аналог с фазовым переходом 2 рода).
Глава 2. Детерминированный хаос
1.Определение хаоса.
2.Определение детерминированной системы.
3.Определение детерминированного хаоса.
4.Эффект бабочки.
5.Консервативные системы.
6.Диссипативные системы.
7.Определение перемежаемости.
8.Странный аттрактор Лоренца.
9.Предмет науки синергетики.
10.Возрастание флуктуаций. Нарушение симметрии при возникновении структур.
11.Закон сохранения энергии для математического маятника, описывающегося в цилиндрической системе координат.
12.График зависимости угла отклонения математического маятника от времени t при малых начальных углах отклонения.
13.График зависимости угла отклонения математического маятника от времени t при больших начальных углах отклонения.
14.Уравнения движения t математического маятника с диссипацией,
подвергающегося действию как силы тяжести, так и силы, связанной с периодическим во времени электрическим полем.
15.График решения уравнения движения t математического маятника с диссипацией без внешнего электрического поля.
16.График решения уравнения движения t математического маятника с диссипацией в слабом электрическом поле.
17.График решения этого уравнения движения t математического маятника с диссипацией в сильном электрическом поле.
18.Нарисовать основные этапы переноса тепла в эксперименте Бенара: теплопроводность, конвективные валы, турбулентный перенос.
19.Нарисовать изменение Фурье спектра мощности потока жидкости в эксперименте Бенара при увеличении относительного числа Рэлея.
20.Реакция Белоусова-Жаботинского. Общая характеристика.
21.Определение корреляционной функции концентрации ионов Се4+ в реакции Белоусова-Жаботинского.
22.Функция Гамильтона неинтегрируемой классической системы ХенонаХейлеса.
23.Определение сечения Пуанкаре.
24.Рисунки сечения Пуанкаре для регулярного движения.
25.Рисунки сечения Пуанкаре для хаотического движения
26.Понятие многомерного дискретного отображения.
27.Нелинейное одномерное логистическое отображение (отображение Ферхюльста)
28.Определение неподвижной точки x* для произвольного одномерного отображения xk+1=f(xk).
29.Понятие цикла порядка p для произвольного одномерного отображения xk+1=f(xk).
30.Критерий локально устойчивой неподвижной точки x*.
31.Критерий локально неустойчивой неподвижной точки x*.
32.График величины неподвижной точки x* в зависимости от управляющего параметра μ для нелинейного логистического отображения.
33.Определение показателя Ляпунова λ, характеризующего величину разбегания траекторий для одномерного отображения.
34.Сравнение графика зависимости неподвижных точек x* от
управляющего параметра и поведение показателя Ляпунова для отображения Ферхюльста.
Глава 3. Синергетика в биологии
1. Модель Тьюринга, описывающая эволюцию распределения концентраций |
||
двух компонент X1 r ,t |
и |
X 2 r,t , учитывающая диффузию этих |
компонент.
2.Математическое выражение для селективного усиления выделенной моды возмущений как причины развития макроскопической неоднородности. 3.Математическая модель брюсселятора, описывающаяся нелинейными
диффузионными уравнениями для двух компонент X1 r ,t и X 2 r ,t .
4.Общая характеристика бактерий.
5.Определение явления хемотаксиса у бактерий.
6.Выражение для диффузионного потока бактерий.
7.Выражение для тока хемотаксиса у бактерий.
8.График одномерного распределения бактерий b x и хемоаттрактанта c x .
9. Законы сохранения числа бактерий и хемоаттрактанта. Система двух простейших нелинейных диффузионных уравнений для взаимодействующих бактерий с концентрацией b(r,t) и хемоаттрактанта c(r,t).
10. Рисунок фронта размножающихся бактерий в условиях голодания для простейшей двухкомпонентной модели взаимодействия концентрации бактерий b(r,t) и хемоаттрактанта c(r,t).
11.Экспериментальные изображения колоний бактерий в условиях голодания.
12.Синергетика структур бактерий в придонных отложениях океана. Рисунки паттернов Тьюринга.
13.Строение амеб.
14. Понятие дифференцировки клеток. Понятие морфогенеза.
15. Основные этапы самоорганизации амеб. Рисунок мелкомасштабной кластеризации амеб.
16.Рисунок крупномасштабной кластеризации амеб.
17.Образование многоклеточного организма - слизевика. 18.Создание плодового тела.
19.Строение сердца.
20.Основные пейсмейкеры сердца (создатели ритмов).
21.Частота сокращений сердца (ударов в минуту) при тахикардии и брадикардии.
22.Определение электрокардиограммы.
23.Электрокардиограмма (ЭКГ). Рисунок P-QRS-T комплекса сердечного ритма.
24.Определение вариабельности сердечного ритма.
25.Симпатическая нервная система.
26.Парасимпатическая нервная система.
27.Примеры функциональных кардиологических проб.
28.Определение аритмий сердца.
29.Автоматизм сердца. Рефрактерный период.
30.Типы работы элемента активной среды.
31.Статистические методы оценки вариабельности сердечного ритма: RRNN –средняя длительность интервалов, SDNN – стандартное отклонение.
32.Формула для RMSSD –среднеквадратичная разность (квадратный корень из среднего квадрата разностей величин последовательных пар RR интервалов).
33.Анализ гистограммы сердечного ритма. Индекс напряжения SI (стресс индекс, индекс напряжения Баевского).
2 ikf0t с различными
индексами k и n . |
|
|
35. Разложение сигнала Z t в ряд Фурье с коэффициентами |
Zk по |
|
гармоническим функциям exp 2 ikf0t . Основная частота |
f0 1 / T |
связана |
с периодом наблюдения за сигналом T .
36.Выражение для Фурье компоненты сигнала Zk через оригинал сигнала
Z t .
37.Ограничение для Фурье компонент Zk вещественного сигнала Z t .
38. Выражение для спектра мощности P fk , |
где fk kf0 |
через Фурье |
компоненты сигнала Zk . Указать диапазоны |
частот для |
следующих |
диапазонов: VLF – очень низких частот, LF – низких частот, HF – высоких частот.
39. График спектра мощности Фурье сигнала ритмограммы с преобладающим парасимпатическим механизмом управления сердцем.
40. График спектра мощности Фурье сигнала ритмограммы с преобладающим симпатическим механизмом управления сердцем.