1.2. Спектральные характеристики непериодических сигналов

Спектральное представление можно обобщить на случай, когда функция x(t) – непериодическая, т.е. T→∞. В этом случае применяется интегральное преобразование Фурье

(1.6)

(1.7)

Здесь Ф и Ф^-1 – обозначения прямого и обратного оператора Фурье.

Формулы (1.6) и (1.7) – пара интегральных преобразований Фурье. Функция F(jω) называется спектральной функцией или комплексным спектром непериодического сигнала. Она определена при положительных и отрицательных частотах.

Спектральную функцию можно представить в виде

, (1.8)

где – спектр амплитуд,

–спектр фаз.

Пример 1.2

Найти спектр функции x(t), заданной на интервале -τ/2<t<τ/2, при исходных данных: U_m:= 0.5; τ:=2; возможная периодичность повторения T:= 2 ∙ τ (рисунок 3).

Аналитическое выражение функции

Рисунок 3 – Периодичность повторения

Решение

Поскольку функция представляет собой непериодическую функцию времени, найдем ее спектральную функцию (комплексный спектр) на основании интегрального преобразования Фурье (1.7). Оперируя безразмерными величинами, следует помнить, что спектральная функция характеризует спектральную плотность амплитуд и фаз элементарных комплексных гармонических колебаний . Она имеет для сигнала в виде напряжения размерность вольт × секунда. Угловая частотаω имеет размерность радиан/секунда.

Так как заданная функция является четной, то ее спектр должен быть вещественной функцией. Для представления вещественной функции достаточен один график.

Интегральное преобразование Фурье

Интегрирование дает действительную функцию

Полученное выражение запишем в компактной форме, введя определение функции отсчетов

Тогда, умножая числитель и знаменатель спектральной функции на τ/2, ее можно записать в виде

Эта спектральная функция при ω:=0 имеет неопределенность вида 0/0. Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя

График спектральной функции приведен на рисунке 4 при T:= 2∙τ, изменении угловой частоты ω с шагом в долях частоты первой гармоники ω₁:= 2∙π/Т и числе гармоник R:= 12 (в случае периодического продолжения), а именно при ω:= -R∙ ω₁, -R∙ ω₁+ ω₁/100 ..R∙ ω₁.

Рисунок 4 – График спектральной функции

Амплитудный спектр определяется как модуль спектральной функции

Переход от действительной и знакопеременной спектральной функции F_x(ω) к амплитудному спектруA_x(ω) требует введения фазового спектра. При взятии модуля спектральная функция изменяет фазу на 180⁰=π(при M:= 4 и k:= 1 .. M ) в точках ω_k:= (2k)∙π/ τ, когда значенияSa(ωτ/2)<0.

Таким образом, фазовый спектр

Графики амплитудного и фазового спектров приведены на рисунках 5 и 6.

Рисунок 5 – Амплитудный спектр

Рисунок 6 – Фазовый спектр

Отсюда следует спектральная функция в экспоненциальной форме.

Рисунок 7 – Спектральная функция в экспоненциальной форме

1.3. Энергетические характеристики сигналов

Пусть сигнал x(t),задан на интервале наблюденияt_mи есть напряжение (или ток) на сопротивленииR= 1 Ом. Тогда при описании сигнала во временной области средняя мощностьPи энергияEбудут равны:

(1.9)

где обозначение означает усреднение по времени квадрата сигнала.

Если допустить периодическое продолжение сигнала x(t) с периодомT = t_m, то среднюю мощность можно находить также, исходя из спектрального представления периодического сигнала в частотной области:

–для ряда (1.1); (1.10)

–для ряд (1.2); (1.11)

–для ряда (1.3); (1.12)

Часто сигнал задается на бесконечном интервале [−∞,∞]. Тогда

(1.13)

Здесь различают два вида сигналов: энергетический или импульсный (E→E₀=const,Р→0) и мощностной (E→∞,Р→P₀=const).

Для энергетического сигнала справедливо равенство Парсеваля (или теорема Рейли)

(1.14)

Функция F(jω)²=A²(ω) =E(ω) называется спектральной плотностью энергии или энергетическим спектром. Она является четной функцией и определяет величину энергии, приходящейся на полосу в один рад/сек. Для мощностных сигналов рассматривают среднюю мощность, так как понятие энергии теряет смысл. Средняя мощность приt_m→ ∞ будет

(1.15)

где – спектральная плотность мощности.

Для количественной оценки временного сдвига детерминированных сигналов используют автокорреляционную функцию АКФ

(1.16)

Энергетический спектр и АКФ связаны преобразованием Фурье:

(прямое преобразование); (1.17)

(обратное преобразование). (1.18)

Пример 1.3

Требуется найти энергию и энергетический спектр прямоугольного видеоимпульса x(t) с амплитудой U_m: = 0.4voltдлительностью τ:= 2 sec. Оценить распределение энергии в его спектре.

Математическая модель сигнала (рисунок 8 при T := 2∙τ и

Рисунок 8 – Математическая модель сигнала

Решение

На сопротивлении R:= 1∙.Ω полная энергия импульса

Спектральная функция симметричного относительно начала координат прямоугольного видеоимпульса будет

По определению энергетический спектр или спектральная плотность энергии на сопротивлении R:= 1∙.Ω есть квадрат спектральной функции, т.е.

Например, E_x(1∙sec^-1) = 0.453 sec²∙ watt.

Согласно равенству Парсеваля (1.14), энергия сигнала в частотной области

Итак,

Введем (пусть ω:= 1∙sec^-1) безразмерную частотную переменную w:=ω∙τ. Тогда энергетический спектр

График нормированного энергетического спектра прямоугольного видеоимпульса как функция безразмерной частотной переменной w приведен на рисунке 9 при w:= 0, π/100 .. 6∙π.

Рисунок 9 – Функция безразмерной частотной переменной

Рисунок показывает, что энергетический спектр прямоугольного видеоимпульса носит лепестковый характер. Для многих задач представляет интерес доля общей энергии сигнала, содержащаяся в пределах одного, двух, трех и т.д. лепестков спектральной диаграммы на рисунке 9.

Определим функцию интегрального синуса

и введем безразмерную переменную z=w/2. При этом dω=2dz/τ. Тогда доля энергии прямоугольного видеоимпульса, заключенная в k последовательных лепестках.

Например, при k:=1 энергия E1_x(1):= 0.289 sec∙watt, а при k:=2, E1_x(2):= 0.304 sec ∙ watt.

Полная энергия импульса

Относительная доля энергии в зависимости от числа учитываемых лепестков

Пример показывает, что переход от k:=1 к значению k:=2, т.е. двукратное расширение полосы частот устройства, через которое проходит видеоимпульс, увеличивает энергию сигнала на его выходе всего на 4.7%.