3.3 Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Расчет на прочность при изгибе
Плоский поперечный изгиб отличается от рассмотренных видов нагружения тем, что в этом случае в поперечных сечениях балки появляется два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М, которые определяются методом разрезов.
3.3.1 Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
Поперечная сила в рассматриваемом сечении равна алгебраической сумме проекций всех сил на ось y, действующих на балку до рассматриваемого сечения:
(3.7)
Поскольку речь идет об алгебраической сумме, в которой необходимо учитывать знак действующих сил, принимают правило знаков при определении значений поперечной силы в сечении: внешние силы активные и реактивные, лежащие по левую сторону от сечения, считаются положительными, если они направлены вверх, отрицательными – вниз, а по правую сторону – наоборот (рисунок 3.7).
Изгибающий момент в рассматриваемом сечении равен алгебраической сумме моментов относительно этого сечения всех внешних сил и моментов, действующих на балку до рассматриваемого сечения:
(3.8)
Рисунок 3.7 - Правило знаков поперечной силы
Правило знаков при определении значения изгибающего момента: момент, изгибающий балку выпуклостью вниз, считается положительным, а вверх - отрицательным (рисунок 3.8). При изгибе выпуклостью вниз сжатое волокно вверху – момент на эпюре откладывается вверх – плюс. Значение изгибающего момента откладывается в сторону сжатого волокна.
Рисунок 3.8 – Правила знаков изгибающего момента
Между выражениями изгибающего момента Мх, поперечной силы Qy и интенсивностью распределенной нагрузки q существуют следующие дифференциальные зависимости:
,
и, следовательно,
. (3.9)
На основе метода сечений и дифференциальных зависимостей можно сделать ряд выводов о характере эпюр Qy и Mx в зависимости от действующих на балку нагрузок.
Для эпюры поперечных сил:
1) на участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра изображается прямой, наклоненной к оси балки;
2) на участке, свободном от распределенной нагрузки, эпюра изображается прямой, параллельной оси балки;
3) под сечением балки, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре поперечных сил имеется скачок, равный по величине приложенной силе;
4) в сечении, где приложена сосредоточенная пара сил, поперечная сила не изменяет своего значения;
5) в концевом сечении балки поперечная сила численно равна сосредоточенной силе (активной или реактивной), приложенной в этом сечении. Если в концевом сечении балки не приложена сосредоточенная сила, то поперечная сила в этом сечении равна нулю.
Для эпюры изгибающих моментов:
1) на участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра моментов изображается квадратной параболой. Выпуклость параболы направлена навстречу действию нагрузки;
2) на участке, свободном от равномерно распределенной нагрузки, эпюра моментов изображается наклонной прямой;
3) под сечением балки, где приложена сосредоточенная пара сил, на эпюре изгибающих моментов имеется скачок, равный величине момента приложенной пары сил;
4) изгибающий момент в концевом сечении балки всегда равен нулю; если в нем не приложена сосредоточенная пара сил. Если же в концевом сечении приложена активная или реактивная пара сил, то изгибающий момент в этом сечении равен по величине моменту приложенной пары;
5) на участке, где поперечная сила равна нулю, балка испытывает чистый изгиб, а эпюра изгибающих моментов – прямая, параллельная оси балки;
6) изгибавший момент принимает экстремальное значение в сечении, где на эпюре сил наклонная прямая пересекает ось.
Для определения экстремальных значений изгибающих моментов дополнительно определяются моменты в сечениях, где поперечные силы равны нулю.
Последовательность построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
1) Определить опорные реакции и найденные их значения проверить.
2) Балку разделить на участки, границы которых должны совпадать с точками, изменения сечений и приложения силовых факторов.
3) Определить функции эпюр поперечных сил на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки.
4) Вычислить поперечные силы в характерных сечениях и построить эпюру.
5) Определить функции эпюр изгибающих моментов на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки.
6) Вычислить изгибающие моменты в характерных сечениях и построить эпюру.
Пример 3. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, изображенной на рисунке 3.9. Подобрать сечение швеллера и сравнить его с прямоугольным.
Дано:
Решение. Определяем опорные реакции:
;
Определим функции внутренних силовых факторов на каждом участке.
I участок: 0 ≤ z ≤ а
при
z=0,
при
z=а,
.
II участок: а ≤ z ≤ 3а
при z=a,
при
z=3a,
На участке СД эпюра моментов – парабола. Следовательно, необходимо исследовать на экстремум.
,
Рисунок 3.9 – Расчетная схема балки
III участок: 3а ≤ z ≤ 4а
;
MIII=
;
.
IV участок: 4а ≤ z ≤ 5а
H;
Условие выполняется, что является проверкой правильности построения эпюры ЭQ:
Проверкой правильности последнего уравнения является равенство нулю момента в шарнире В.