3. Определение погрешности косвенных измерений

Рассмотрим косвенно определяемую величину U=U(x,y,z), являющуюся функцией непосредственно определяемых величинx, y, z, которые описываются классическим распределением вероятности. Еслиx₀, y₀, z₀ – истинные значения величинx, y, z, то истинное значениеU₀определяется выражением

(3.1)

Анализ работ практикума показывает, что все косвенные измерения по поведению истинных значений можно разделить на 3 класса (табл. 1).

Таблица 1

Класс косвенной величины	Характер истинного значения косвенного измерения	Поведение истинных значений прямых измерений
I	U0=const	x0, y0, z0=const
II	U0=const	x0, y0, z0≠const
III	U0≠const	x0, y0, z0≠const

К первому классу косвенных величин относятся величины, при определении которых их истинное значение U₀и истинные значенияx₀, y₀, z₀ прямых измерений остаются неизменными. Если методика измерений такова, что хотя бы одна из величинx₀, y₀, z₀изменяется, а истинное значение косвенного измерения постоянно, то такие измерения относятся к измерениям второго класса. У косвенных измерений третьего класса изменяются истинные значения не только прямых, но и косвенных измерений.

Примером первого класса может служить объем твердого тела правильной геометрической формы, определяемый в неизменных условиях с помощью линейных измерений. Сопротивление, вычисляемое из закона Ома I=Δφ/R, если напряжение и ток меняются, относится ко второму классу. Представителем третьего класса косвенных величин является индуктивность катушки с ферромагнитным сердечником, определяемая при различных токах в обмотке.

Данная классификация косвенных измерений методически целесообразна. При обработке каждого класса свой подход, свои возможные варианты.

Рассмотрим косвенные измерения Iкласса.

Можно показать [3,5], что абсолютные погрешности Δx, Δy, Δzпрямых измеренийx, y, zсвязаны с абсолютной погрешностью косвенных измеренийΔUсоотношением

(3.2)

где .

………………………..

– значение частной производной функцииUпох, рассчитан

ное при средних значениях прямых измерений.

………………………..

При определении частной производной д/дх все переменные, кромех, считаются постоянными величинами. Аналогично определяются частные производные по другим переменным. Например, для функцииf=x+y дf/дx=1, дf/дy=1; для функциис=х-у дс/дх=1, дс/ду=-1.Учтя эти значения, согласно соотношению (3.2) имеем,, т.е.Δf=Δc. Это значит, что при наложении двух последовательностей погрешностей результирующая погрешность равна, что и объясняет соотношение (2.8). По этой же причине

(3.3)

Если в формуле (3.2) заменить Δx, Δy … наΔх_сл,Δу_сл,…, получим ΔU_сл, вклад случайных погрешностей в погрешность косвенного измерения. При заменеΔx, Δy … наΔх_пр,Δу_пр,…, соотношение (3.2) будет определятьΔU_пр, приборную погрешность косвенных измерений. Случайную погрешностьΔU_слможно определить не только с помощью уравнения (3.2), но и с помощью соотношения (3.4):

(3.4)

Для равноточных косвенных измерений Iкласса среднее значениеU_срможно рассчитать двумя способами:

(3.5) и(3.6)

Рекомендуют, как правило, второй способ, требующий меньше вычислений.

Относительная погрешность косвенного измерения Uможет быть рассчитана по определяющей формуле

(3.7)

или по формуле

, (3.8)

которая получена из соотношения (3.7) после подстановки в него уравнения (3.2).

На основании выражения (3.8) можно предложить правило определения формулы относительной погрешности (правило 1):

«Чтобы определить формулу относительной погрешности косвенно определяемой величины, нужно выражение, определяющее ее, прологарифмировать, продифференцировать, знак дифференциала dзаменить знаком абсолютной погрешности Δ, возвести каждый член полученного выражения в правой части в квадрат и из суммы квадратов этих членов извлечь квадратный корень».

Для формулы объема цилиндра применение правила 1 дает следующее: ; (3.9)

; (3.10)

; (3.11)

; (3.12)

. (3.13)

Следует отметить, что табличные значения и универсальные постоянные (π, γ, с…), как и любые экспериментально определенные величины, задаются доверительным интервалом, внутри которого они непрерывны и дифференцируемы.

Для величины, определяемой произведением или отношением других величин, проще определять формулу относительной, а не абсолютной погрешности.

Изобразим возможные варианты определения абсолютной погрешности косвенных измерений в виде граф-схемы:

(3.2) (3.4)

(3.2) Δх→Δх_сл

Iкл. ΔU (3.3) ΔU_сл→(3.2) Δх→Δх_сл ΔU_пр ………...

(3.7)………..

(3.7)(3.7) ..………

IIIкл.

εпо правилу 1Δх→(2.8)

интуиция

…………….

Рис.1

Возможные варианты обработки результатов измерений очерчены рамкой. За ее пределами отмечены особенности определения отдельных величин. Как видим из граф-схемы, абсолютную погрешность косвенных измерений Iкласса можно определить с помощью выражений (3.2), (3.2), (3.7). Последний вариант предполагает знание относительной погрешности ε, расчетную формулу которой рекомендуется получать по правилуI. Последний способ определения абсолютной погрешности ΔUпредпочтительнее из-за меньшего объема вычислений. Абсолютные погрешности прямых измерений в расчетной формуле величины ε определяются соотношениями вида (2.8) или, при несовершенной методике, интуитивно.

Для косвенных измерений IIкласса среднее арифметическое значений прямых измерений теряет смысл. Поэтому пути, определяемые формулами (3.2) и (3.7) (см. рис. 1), не могут быть использованы. В результате для косвенных измеренийIIкласса имеем одну возможность определения абсолютной погрешности ΔUна основании соотношения (3.3).

ΔU_сл→(3.4)

IIкл. – – – →ΔU→ (3.3) – – – – (3.2)х_ср→х_к

…….

ΔU_пр Δх_пр

(3.7) Δх

интуиция

…………………

Рис. 2

Приборную погрешность косвенного измерения ΔU_прпредлагается оценивать с помощью формул (3.2) или (3.7) по результатам одной серии прямых измеренийx_к, у_к, z_к. Очевидно, чтобы не уменьшить надежность доверительного интервала (U_cp+ΔU), нужно брать такую серию измерений, для которойΔU_npимеет наибольшее значение. Среднее значение косвенных измеренийIIкласса можно определить только по формуле (3.5).

Для косвенных измерений IIIкласса теряет смысл понятие среднего арифметического значения и для косвенных измерений. Поэтому в этом случае можно определить только вклад приборных погрешностей для каждого измерения. Возможные варианты их определения обозначены на рис. 1 скобкой|____|.