31. Механический смысл производной

Пусть за бесконечно малый промежуток времени тело прошло путь

Тогда величина даст скорость тела в момент времени

Обозначив эту скорость через будем иметь

Но поэтому

Производная от пути по времени есть скорость:

Это механический смысл производной:

З а д а ч а 1. Известна зависимость пути от времени: Найти скорость через после начала движения.

□ Скорость в произвольный момент времени равна

Отсюда при получим ■

32. Дифференциал

Равенство можно переписать так:

--

Формула вычисления дифференциала функции

(32.1)

З а д а ч а 1. Найдите дифференциал функции

□ ■

З а д а ч а 2. Найдите дифференциал функции

□ ■

Правила вычисления дифференциала те же, что и правила вычисления производной:

,

♥ Например, (32.1)

(32.1) ■

33. Геометрический смысл производной

Дана дифференцируемая функция Построим её график (рис. 33.1). На возьмём бесконечно близкие точки и через них проведём прямую; она называется касательной. Касательная к линии – это прямая, проходящая через две бесконечно близкие точки линии.

Вы видите, что

где угол наклона касательной к оси

Но угловой коэффициент

касательной, следовательно,

Итак,

Производная равна угловому коэффициенту касательной:

Это геометрический смысл производной.

Рис. 33.1

З а д а ч а 1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке .

□ Находим производную .

Подставив значение получим угловой коэффициент ■

Согласно (11.4), уравнение касательной проведённой к графику функции

в точке имеет вид поэтому с учётом (33.1) получим

Уравнение касательной, проведённой к графику функции в точке

З а д а ч а 2. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

■ При получаем

Так как то

Теперь получаем уравнение касательной или ■

34. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА В ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

Когда мало, будет мало и соответствующее значение

Значит, будет близко к бесконечно малому приращению функции

Но поэтому

отсюда

где

Формула приближённого вычисления значения функции

Чем меньше тем точнее эта формула.

З а д а ч а 1. Вычислить

□ Обозначим так как ближайшее целое число то

Отсюда

(34.1) ■

35. ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

Если функция задана в параметрическом виде

то

(35.1)

♥ Дано где переменный параметр.

Тогда

отсюда ■

З а д а ч а 1. Функция задана в параметрическом виде

Найдите при

□ (35.1)

теперь вместо подставим : ■

36. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Производную называют первой производной или производной первого порядка. Производную от , т. е. функцию называют второй производной или производной второго порядка и обозначают Таким образом,

Вообще, производная го порядка определяется по формуле

в которой не степень, а порядок производной.

Например, если то и т. д.

Выясним, как находится вторая производная функции, заданной параметрически.

Если функция задана в параметрическом виде

то

♥ ■

З а д а ч а 1. Функция задана в параметрическом виде

Найдите или, по-другому,

□ Сначала находим первую производную:

Теперь находим вторую производную:

■