14. Бесконечно малые и бесконечно большие переменные

Если (или, по- другому, ),

то называют бесконечно малой переменной величиной.

В этом случае иногда будем писать .

Следовательно, записи равносильны.

З а д а ч а 1. Найти

□ ■

Равенство равносильно следующим двум выражениям:

при при

Каждое из этих трёх выражений означает, что бесконечно малая переменная величина при

Переменная величина называется ограниченной, если при всех выполня - ется неравенство где - некоторая константа.

Например, величина является ограниченной, потому что

Отметим следующее равенство

В самом деле,

З а д а ч а 2. Найти

□

■

Если величина неограниченно растёт,

то принято писать и говорить, что бесконечно большая переменная величина.

В таком случае иногда будем писать .

При этом для положительной бесконечно большой пишем (рис. 14.3),

а для отрицательной бесконечно большой пишем (рис. 14.4).

Рис. 14.3 Рис. 14.4

З а д а ч а 3. Найти

□ Запись означает, что точка неограниченно удаляется от начала координат (влево или вправо – безразлично). Если или , то график функции всё теснее прижимается к оси (рис. 14.5), т. е. Следовательно, это значит, что - бесконечно малая переменная. ■

З а д а ч а 4. Найти

□ При (т. е. когда переменная точка

приближается к началу координат)

значение неограниченно растёт (рис. 14.5),

т. е. происходит

Следовательно, это значит, что есть

бесконечно большая переменная величина. ■

Рис. 14.5

Итак, при происходит

а при происходит

Поэтому при вычислении пределов удобны следующие условные записи

З а д а ч а 5. Найдите .

□ = = . ■

Когда встречается показательная функция, может оказаться полезным выражение

(14.1)

♥ Если (например, ), то при .

Если (например, ), то при .

Если то при любом в том числе и при ■

Например, с помощью (12.1) вы получаете, что

Из (12.1) вытекает выражение

Например,

15. Основные правила обращения с пределами

Эти простые правила могут облегчить вычисление пределов. В них символ обозначает константу.

♦ 1. Предел константы равен этой константе:

Например, ,

♦ 2. Предел суммы равен сумме пределов:

(если правая часть )

Например, .

♦ 3. Предел произведения равен произведению пределов:

(если правая часть )

Например, .

В частности, постоянный множитель можно переносить за знак предела:

Например,

♦ 5. Предел отношения (т. е. дроби) равен отношению пределов:

(если правая часть )

Например, .

♦ 6. Предел показательно-степенной функции можно вычислять по формуле:

(если правая часть )

Например, .

В частности, справедливы следующие формулы: