8. Обратная функция

Если функция задана уравнением ,

то обратная к ней функция определяется уравнением .

Следовактельно, чтобы написать обратную функцию, нужно заменить на а на

З а д а ч а 1.. Неявная функция задана уравнением . Найдите обратную функцию. Нарисуйте их графики.

□ Уравнение задаёт в неявном виде функцию

изображённую графиком на рис. 8.1,

а уравнение задаёт в неявном виде обратную

функцию (она изображена графиком ). ■

Ввиду того, что у взаимно обратных функций

переменные и меняются ролями,

графики взаимно обратных функций симметричны

относительно прямой Рис. 8.1

9. Функция, заданная параметрическими уравнениями

Иногда бывает так, что обе переменные и зависят от одной и той же пере -менной В этом случае их общая переменная подобно посреднику, осущест - вляет связь между и Так как переменные и оказываются связанными друг с другом, то можно считать функцией от (или наоборот).

Если имеется система двух уравнений

то говорят, что функция задана параметрическими уравнениями, или что функция задана параметрически.

В данной системе уравнений величина называется переменным параметром.

Иногда возможно найти непосредственную связь между и исключив

Пусть функция задана уравнениями Найдём прямую связь между и Из первого уравнения находим Подставив это значение во второе уравнение, получим прямая (явная) зависимость от

10. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

К простейшим функциям относятся пять видов функций.

1. Степенная функция .

2) Показательная функция .

3) Логарифмическая функция .

4) Тригонометрические функции .

5) Обратные тригонометрические функции

.

Всякая функция, построенная из простейших функций и конечного числа арифме - тических действий (+, –, ·, :) называется элементарной.

Пример элементарной функции: .

Если основание и показатель степени являются переменными величинами, то это показательно-степенная функция. Поэтому она имеет вид где , - переменные величины.

Особо выделим три вида элементарных функций: многочлены, рациональные и иррациональные функции.

Многочленом (полиномом) относительно переменной называется выражение вида

,

в котором натуральные числа, а остальные числа называ –ются коэффициентами.

Например: многочлен 3-й степени,

многочлен 2-й степени (квадратичная функция),

многочлен 1-й степени (линейная функция).

Рассмотрим выражение

.

Если все показатели степеней – целые числа, то данное выражение называется рациональной функцией. Если же не все показатели – целые числа, то это - иррациональная функция.

Например, выражение является рациональной функцией (ведь все показатели

5, 4, 1, 2 – целые числа). А выражения , являются иррациональны - ми функциями (потому что в них переменная имеет нецелый показатель степени).

11. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ

Займёмся самой простой функцией – линейной функцией.

Функция называется линейной.

(11.1)

График линейной функции – прямая линия (рис. 11.1). Число называется угло - вым коэффициентом прямой линии, поэтому выражение (11.1) называют уравнением прямой линии с угловым коэффициентом.

На прямой возьмём две точки и опустим перпендикуляры на координатные оси.

Получится прямоугольный треугольник с катетами и Величина

называется приращением переменной

Величина

называется приращением функции На рис. 11.1 вы видите, что

Применим формулу (11.1) чтобы найти Рис. 11.1

т. е. отсюда

Формула вычисления углового коэффициента

(11.1)

Число зависящее от угла задаёт направление прямой линии.

Уравнение прямой линии можно записать и так

(11.2)

Это общий вид уравнения прямой линии. При это уравнение принимает вид (11.1).

Если то из (11.2) получим Отсюда Значит, все точки этой прямой имеют одну и ту же ординату (высоту) поэтому прямая параллельна оси (рис. 11.2). В частности, прямая совпадает с осью

Рис. 11.2 Рис. 11.3

Если то из (11.2) получим Отсюда Значит, все точки этой прямой имеют одну и ту же абсциссу поэтому прямая параллельна оси (рис. 11.3). В частности, прямая совпадает с осью

Рассмотрим простые задачи на прямую линию.

!. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку

□ Так как искомая прямая

(а)

проходит через точку то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой:

(б)

Вычитая из (а) равенство (б), получаем ответ:

Уравнение прямой линии, проходящей через точку

(11.3)

В этом уравнении коэффициенты и остаются неизвестными.

Пусть Поделив обе части равенства (11.3) на , получим

Обозначив через будем иметь Итак,

Уравнение прямой линии, проходящей через точку

(11.4)

2. Составить уравнение прямой линии, проходящей через две точки и

□ Искомая прямая проходит через точку поэтому согласно (11.3) имеем Эта прямая должна проходить через точку поэ - тому Запишем эти равенства так:

Поделив первое равенство на второе, получим ответ:

Уравнение прямой линии, проходящей через две точки и

З а д а ч а 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и

□ Применяем последнюю формулу: отсюда

■

3. Найти угол между прямыми и

□ Из (11.1) следует, что

На рис. 11.2 видим, что поэтому

■

Итак,

Угол между прямыми и можно найти по формуле

4. Если

то прямые параллельны. Рис. 11.2

Если

то прямые перпендикулярны.

12. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Функция называется квадратичной.

Её график – парабола. Преобразование квадратичной функции к виду

называется выделением полного квадрата. Точка есть вершина параболы.

З а д а ч а 1. Выделить полный квадрат у квадратичной функции

□ . ■

Точка - вершина этой параболы.

13. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Условимся стрелкой заменять слова «стремится к».

Тогда запись будет означать, что расстояние между

переменной точкой и постоянной точкой становится

как угодно малым (рис. 13.1). Рис. 13.1

Теперь возьмём какую-нибудь функцию . Нарисуем её график (рис. 13.2)

Если при происходит

то называют пределом функции и пишут

и пусть п ри происходит .

Таким образом, можно пользоваться двумя

равносильными записями:

Рис. 13.2

При происходит

З а д а ч а 1. Найти ٱ

Равенство означает, что при происходит ■

И вообще,

З а д а ч а 2. . Найти .

□ == ■