
- •Дифференциальное исчисление
- •1. Базовые понятия Слова мы пишем буквами, а числа – цифрами (рис. 1.1).
- •2. Изображение чисел
- •3. Понятие функции
- •Или просто
- •4. Изображение функции
- •5. Прямо пропорциональная зависимость
- •8. Обратная функция
- •9. Функция, заданная параметрическими уравнениями
- •14. Бесконечно малые и бесконечно большие переменные
- •15. Основные правила обращения с пределами
- •16. Раскрытие неопределённостей
- •17. Эквивалентные переменные
- •18. Первая замечательная эквивалентность
- •19. Экспонента и натуральный логарифм
- •20. Вторая замечательная эквивалентность
- •21. Сводка формул для раскрытия неопределённостей
- •22. Непрерывная функция
- •23. Свойства непрерывных функций
- •24. Метод половинного деления
- •26. Понятие производной
- •31. Механический смысл производной
- •32. Дифференциал
- •33. Геометрический смысл производной
- •37. Дифференциалы высших порядков
- •38. Механический смысл второй производной
- •39. Правило лопиталя
- •40. Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум
- •43. Асимптоты
- •45. Понятие функции двух переменных
- •46. Изображение функции двух переменных
- •47. Частные производные и дифференциал функции
- •51. Экстремум функции двух переменных
- •Содержание
- •1. Базовые понятия……………………………………………………………………………1
43. Асимптоты
Асимптота – это прямая, к которой приближается график при неограничен - ном удалении от начала координат (рис. 43.1).
Рис. 43.1 Рис. 43.2
График функции
может иметь как
вертикальные, так и невертикальные
асимптоты (рис. 43.2).
Прямая
является
вертикальной асимптотой, если хотя бы
один из двух пре – делов
равен
Обычно
вертикальная
асимптота имеется в точках оси
не входящих в ОДЗ, и на границе ОДЗ.
Вертикальных асимптот
может быть сколь угодно. Количество
невертикальных асимптот может быть
только не больше
2: одна при
вторая при
О том, как ищется невертикальная асимптота, говорится в следующем утверждении:
Если имеется
функция
|
то прямая
|
З
а д а ч а 1. Найдите асимптоты графика
функции
□ а)
Сначала найдём вертикальные асимптоты.
Наша функция не существует, когда
знаменатель
Проверим, является ли вертикаль
асимптотой, для чего найдём предел:
Следовательно,
прямая
- вертикальная асимптота.
б)
Ищем невертикальные асимптоты
:
Следовательно,
прямая
- невертикальная асимптота. ■
44. ОБЩИЙ ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ
И ПОСТРОЕНИЯ ЕЁ ГРАФИКА
План исследования функции и построения её графика заключается в выполнении следующих шагов:
1. Находим возможные вертикальные асимптоты и ОДЗА.
2. Определяем чётность, нечётность, периодичность.
3. Находим точки пересечения с осями координат.
4. Находим асимптоты вертикальные и невертикальные.
5. Находим производную, интервалы возрастания, убывания и точки экстремума.
6. Находим вторую производную, интервалы выпуклости, вогнутости и точки пере -гиба.
7. При необходимости находим дополнительные точки графика.
З
а д а ч а 1. Проведите полное исследование
функции
и постройте её график.
□ 1.
Из «запрещённого» условия
получаем
- уравнение возможной вертикальной
асимптоты. Нарисуем её на плоскости
(рис. 44.1). Итак,
2. Функция не периодична, потому что не содержит тригонометрических функций.
Проверим
её чётность:
следовательно, относительно системы координат график не симметричен.
3.
а) Ищем вертикальные асимптоты. Для
этого найдём односторонние пределы
функции в «запрещённой» точке
.
Находим
правый предел:
Значит,
прямая
есть вертикальная асимптота: при
происходит
.
На
рис 44.2 этот процесс показан куском
графика.
Находим
левый предел:
Таким
образом, при
происходит
.
На
рис 44.2 этот процесс показан куском
графика.
б) Ищем
невертикальные асимптоты
.
Рассмотрим
первый случай, когда
:
Рис. 44.1
.
Вывод:
при
невертикальной асимптоты не существует
(т. к.
не число).
Рассмотрим
второй случай, когда
:
,
Следовательно,
.
Итак,
при
имеем невертикальную асимптоту
Это – ось
(рис. 44.3).
Рис. 44.2 Рис. 44.3
4.
При
получаем
,
поэтому
- точка пересечения с осью
(рис. 44.4).
При
получаем
отсюда
Это
уравнение не имеет решений, поэтому с
осью
график не пересекается.
5. Находим производную
Приравниваем
числитель и знаменатель к нулю и получаем
значения
Рисуем ось
наносим
на неё точки
и определяем знак функции
в трёх интервалах (рис. 44.5). Этот знак
указывает, где функция растёт и где
убывает. Рис. 44.4
При переходе через точку непрерывности
функция
меняет
знак с – на +, поэтому
есть точка минимума. Минимальное
значение функции равно
В
точке
рисуем «ямку» (рис.
44.6). Рис. 44.5
6. Находим вторую производную
Приравниваем
числитель и знаменатель к нулю и получаем
значение
Рисуем
ось
,
наносим точку
и определяем знак
функции
в двух интервалах (рис. 44.7). Этот знак
показывает, где функция
выпукла и где вогнута. График на рис.
44.6 согласуется с этими результатами.
Исследование функции и построение её графика на этом завершается.
Рис. 44.6 Рис. 44.7