59. Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа

— многочленминимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Дляпар чисел, где всеразличны, существует единственный многочленстепени не более, для которого.

В простейшем случае () — это линейный многочлен,графиккоторого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Определение

Этот пример показывает интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек (-9,5),(-4,2),(-1,-2)и(7,9), а также полиномыy_i l_i(x), каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимает нулевое значение в остальныхx_j

Лагранжпредложил способ вычисления таких многочленов:

где базисные полиномы определяются по формуле:

обладают следующими свойствами:

• являются многочленами степени

• 

• при

Отсюда следует, что , каклинейная комбинация, может иметь степень не больше, и,Q.E.D.

Применения

Полиномы Лагранжа используются для интерполяции, а также длячисленного интегрирования.

Пусть для функции известны значенияв некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

В частности,

Значения интегралов от не зависят от, и их можно вычислить заранее, зная последовательность.

Случай равномерного распределения узлов интерполяции

В случае равномерного распределения узлов интерполяции выражаются через расстояние между узлами интерполяцииhи начальную точку:

,

и, следовательно,

Подставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

Теперь можно ввести замену переменной

и получить полином от , который строится с использованием только целочисленнойарифметики. Недостатком данного подхода являетсяфакториальнаясложность числителя и знаменателя, что требует использованиядлинной арифметики.

60. Разделё́нная ра́зность

 — обобщение понятия производнойдля дискретного набора точек.

Определение

Разделённая разность нулевого порядка функции — сама функция. Разделённая разность порядкаопределяется через разделённую разность порядкапо формуле

Для разделённой разности также верна формула

Из этой формулы следует, что разделённая разность является симметрической функциейсвоих аргументов (то есть при любой их перестановке не меняется), а также то, что при фиксированныхразделённая разность —линейный функционалот функции:

Применение

Через разделенные разности можно выразить интерполяционный многочленв формемногочлена Ньютона:

где ,^[1].

Эта формула позволяет после предварительных вычислений разделенных разностей, требующих действий (с меньшей, чем в других алгоритмах константой), вычислять многочлен Лагранжа в любой точке задействий.

История

Ньютон использовал в своей общей формуле интерполяции (см. выше) разделённые разности, но термин, по-видимому, был введён О. де Морганомв 1848 году^[2].