Пусть тогда и

Далее

При этом погрешность составит  т. е. 

Следовательно, с точностью  в качестве приближённого значения корня данного уравнения можно взять число

Метод Ньютона. Пусть уравнение (3.1) имеет на отрезке  единственный корень, причём на отрезке  существует непрерывная производная . Метод Ньютона (или метод касательных) служит для уточнения корней нелинейных уравнений в заданном интервале  и его можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, в котором

.

Тогда итерационный процесс осуществляется по формуле

Геометрически (рис. 3.9) этот процесс означает замену на каждой итерации графика кривой  касательной к ней в точках . Достаточное условие сходимости обеспечивается выбором начальной точки . Начальным приближением  служит один из концов отрезка , в зависимости от того, в каком из них выполняется достаточное условие сходимости При произвольном начальном приближении итерации сходятся, если

Метод Ньютона рекомендуется применять для нахождения простых действительных корней уравнения (3.1).

Достоинством метода является то, что он обладает быстрой скоростью сходимости, близкой к квадратичной. Недостаток у этого метода отметим такой: метод Ньютона сходится не при любом начальном приближении, а лишь при том, для которого

45. Метод половинного деления.

Для уточнения корня нелинейного уравнения (3.1) на отрезке , где , а производная сохраняет знак, разделим отрезок  пополам и исследуем знак функции в полученной точке , где . Из двух отрезков  и  выберем тот, на котором функция меняет знак.     

Уменьшая новый отрезок в два раза, повторяем процесс и т. д. Получим последовательность вложенных отрезков

на концах которых выполняется неравенство ,

где                                          .                                        (3.2)

Последовательность  является монотонной неубывающей ограниченной последовательностью, а последовательность  − монотонной невозрастающей ограниченной последовательностью. Значит, существует предел

.

Тогда .

Оценку погрешности решения на -м шаге вычислений можно получить из соотношения (3.2) в виде

                                      (3.3)

Здесь  с точностью  не превышающей .

Пример. Методом половинного деления с точностью  найдём корень уравнения  при  

Решение. Выше, при отделении корней табличным способом, было установлено, что искомый корень  принадлежит отрезку . На каждом шаге вычислений значение корня принимаем равным

С погрешностью

Будем производить вычисления и выбирать последовательность вложенных отрезков  используя условие .

Шаг 1.  

Так как  и  то полагаем

Шаг 2.  

Так как  и  то полагаем

Шаг 3.  

Так как  и  то полагаем

Шаг 4.  

Так как  и  то полагаем

Шаг 5.  

Так как  и  то полагаем

Шаг 6.  

Так как  и  то полагаем

Шаг 7.  

Так как  и  то полагаем

Таким образом, заданная точность достигается на седьмом шаге метода половинного деления, поэтому приближённым значением корня с точностью  будем считать число

Кроме метода дихотомии для уточнения корня на отрезке  применяются итерационные методы.