Откуда при

и                              при .

Требуемую точность вычислений можно обеспечить использованием оценок приближения  к корню :

1) ;

2) .

При  второе неравенство примет вид . Таким образом, если , то . Очевидно, что чем меньше , тем быстрее сходится процесс итераций. Практически грубую оценку приближённого решения можно получить без дополнительных вычислений при .

В этом случае (рис. 3.7) итерации попеременно оказываются то с одной, то с другой стороны корня, так что корень заключён в интервале . Это надёжная, хотя и грубая оценка, но она неприменима при , когда итерации сходятся к корню монотонно, т. е. с одной стороны. Вблизи корня итерации сходятся примерно так же, как геометрическая прогрессия со знаменателем

.

Для того чтобы сумма следующих членов прогрессии не превосходила , должен выполняться критерий сходимости . При выполнении этого условия процесс итераций можно прекращать. Метод простых итераций имеет два достоинства: 1) является универсальным и самоисправляющимся, т. е. любая неточность на каком-либо шаге итераций не отразится на конечном результате, а лишь на количестве итераций. Подобные ошибки устойчивы даже по отношению к грубым ошибкам (сбоям ЭВМ), если только ошибка не выводит очередное приближение за пределы области сходимости; 2) позволяет достигнуть любой заданной точности при любом начальном приближении . Недостатки метода простых итераций состоят: 1) в трудности приведения уравнения (3.1) к виду (3.4);

Процесс итераций заканчивается при выполнении двух критериев

2) если начальное приближение  далеко от корня, то число итераций достаточно большое и объём вычислений возрастает.:

1) два последних приближения отличаются между собой по модулю на заданную величину :

.

Этого критерия недостаточно, так как в случае крутизны графика, указанное условие будет выполнено, но  может находиться далеко от корня;

2) мера удовлетворения уравнению последнего приближения корня: .

Отдельно второго критерия недостаточно, так как при пологом графике функции  условие может быть выполнено, но  может быть далеко от корня.

Пример. Методом простых итераций найти корни уравнения  с точностью Решение. Для отделения корней воспользуемся графическим методом. Для этого преобразуем исходное уравнение к виду и построим графики  функций  и  в одной системе координат (рис. 3.8). Абсцисса точки пересечения этих графиков является приближённым значением корня . Из рисунка видно, что единственный корень  находится на отрезке : , , т. е. на концах отрезка функция  меняет знак и производная  на отрезке

Запишем исходное уравнение в эквивалентном виде:

где                                   

Выберем для получения корня . Процесс итераций

сходится, так как

Таким образом, формула метода простых итераций для данного уравнения будет иметь вид:

.