Анализ данных – общая идея

Введем величину

- сумму квадратов отклонений результатов измерений от предсказаний теории, которую немножко «поднормировали». Эта рень называется -квадрат.

Требуем, чтобы как функция параметров был минимален! Тогда отклонения предсказаний теории от результатов измерений будут минимальны.

Как найти минимум функции многих переменных?

А если параметры каким-то образом связаны друг с другом? Или их значения ограничены из каких-либо физических соображений?

44

Анализ данных – общая идея

Более правильное определение содержит ошибки измерений:

Чем больше ошибка у измеренной точки, тем меньший вклад эта точка вносит в итоговую оценку. Чем меньше ошибка, тем более значима эта точка, тем вес этой точки выше. Поэтому на ошибку мы делим!!

Эта формула вам ничего не напоминает?

45

Почему именно

Оценка параметров при помощи позволяет не только определить, какие там параметры у вашего распределения, но и сделать вывод о том, с какой вероятностью вы никого не дурите (или вас не дурят…).

Величина является случайной величиной, которая строится как сумма квадратов случайных величин, распределенных нормально и стандартно:

Здесь – «число степеней свободы» = «число точек» – «число подгоночных параметров».

Пример: по двум точкам всегда можно провести только одну прямую. Одна прямая – два параметра. Число точек – число параметров = 2 – 2 = 0. Свободы нет, прямая одна единственная…

46

Плотность -распределения

Математическое ожидание величины

ЕСЛИ ваш результат () попал куда-то далеко, значит, ваш с большой вероятностью не описывается распределением .

ЕСЛИ ваш не описывается распределением , значит величина не распределена стандартно нормально.

ЕСЛИ эта величина не распределена стандартно нормально, значит теория хрень! (или намерили хрень…).

47

Резюме

-посчитали минимум этой функции – определили наилучшие параметры.

-этим параметрам соответствует

-смотрите по распределению в какую область попал ваш (можно в экселе считать, таблицы нагугливать, …);

-по этой области определяете, насколько верна – правдоподобна – ваша теория. Хороший результат: .

-Если сильно меньше единицы – вас обвинят в подгоньянстве. Если сильно больше единицы – скорее всего, получилась хрень (либо в теории, либо в эксперименте).

48

Подытожим

1.Теоретики придумывают какую-либо теорию для объяснения наблюдаемых эффектов и предсказания новых. Это может происходить как на уровне лагранжиана, так и на более феноменологическом. При этом теория, как правило, содержит некоторое число параметров.

2.Экспериментаторы измеряют какие-либо наблюдаемые характеристики, связанные с этой теорией – например, энергетические спектры частиц, времена жизни, угловые распределения, сечения взаимодействия, …

3.Теоретики вычисляют то, что измеряют экспериментаторы – те же времена жизни, сечения, распределения и т.п., и «тащут» всю дорогу параметры их теории.

4.По итогу мы имеем классическую задачу по математической статистике:

есть выборка (экспериментальные данные), которая, как мы полагаем, порождена теорией теоретиков. Задача – определить параметры теории.

По дороге, методом мы проверяем, верна ли теория в принципе (является ли «экспериментальный» настоящим ).

49

Подытожим

Мы не можем окончательно ни подтвердить теорию, ни опровергнуть.

Теория, даже если она принимается, принимается «с какой-то вероятностью» (уровнем значимости).

Мы не можем сказать, что наша теория истинна. Мы можем сказать, что теория правдоподобна.

«Электрон и протон имеют заряды и поэтому притягиваются» – истина или ложь? – вопрос философский, ответа нет

«Электрон и протон имеют заряды и поэтому притягиваются» - правдоподобно.

50