Случайные величины

Событие = {На большом адронном коллайдере в таких-то условиях при столкновении таких-то частиц с такими-то энергиями родились такие-то частицы с такими-то энергиями, которые потом распались на такие-то частицы с такими-то энергиями, среди которых нашли бозон Хиггса}

Введем числовую функцию, сопоставляющую каждому элементарному исходу некоторое число.

Например,

;

Случайной величиной над вероятностным пространством (Ω, , ) называется любая функция, для которой существует значение функции

Функция называется функцией распределения случайной величины

1.Область значений

2.Чему равны

3.С какой вероятностью

11

Дискретные случайные величины

Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется СВ, множество значений которой счетно; описывается, как правило, функцией распределения

Пример: Схема Бернулли

Проводится независимых испытаний таких, что вероятность успеха в каждом из них постоянна и равна ; вероятность успеха в испытаниях:

фиксированные, известные числа - параметры; случайная величина, принимающая дискретный набор значений 0, 1, …,

В этом случае говорят, что имеет биномиальное распределение. Обозначается

12

Непрерывные случайные величины

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется СВ, принимающая непрерывный набор значений; описывается плотностью вероятности

Примеры:

Нормальное распределение

Распределение Максвелла:

13

Непрерывные случайные величины

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется СВ, принимающая непрерывный набор значений; описывается плотностью вероятности

Примеры:

Нормальное распределение

Распределение Максвелла:

А ещё квадрат модуля волновой функции :)

14

15

Моменты случайных величин

Момент случайной величины – некоторая числовая характеристика распределения

16

Моменты случайных величин

Момент случайной величины – некоторая числовая характеристика распределения

17

Моменты случайных величин

Момент случайной величины – некоторая числовая характеристика распределения

2. Среднее отклонение от среднего

ДСВ:

2.Дисперсия

3.Среднеквадратическое отклонение от среднего:

18

Моменты случайных величин

Момент случайной величины – некоторая числовая характеристика распределения

19

ЗБЧ и ЦПТ

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Рассмотрим последовательность независимых в совокупности случайных величин

имеющих одинаковые распределения и, следовательно, одинаковые и конечные математические ожидания

Обозначим

Тогда

т.е. случайная величина среднего арифметического сходится (по вероятности) к

математическому ожиданию

21

ЗБЧ и ЦПТ

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Рассмотрим последовательность независимых в совокупности случайных величин

имеющих одинаковые распределения и, следовательно, одинаковые и конечные математические ожидания

Обозначим

Тогда

т.е. случайная величина среднего арифметического сходится (по вероятности) к

математическому ожиданию

Никого не смущает, что в строгой математической теореме фигурирует понятие

«вероятность»?

22

ЗБЧ и ЦПТ

ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

Рассмотрим последовательность независимых в совокупности случайных величин

имеющих одинаковые распределения и, следовательно, одинаковые и конечные математические ожидания и дисперсии

Обозначим

Тогда случайная величина в пределе подчиняется стандартному нормальному распределению

23