Литература / Козин Р.Г. Алгоритмы численных методов линейной алгебры и их программная реализация

Здесь:

1) в пределах каждого k-го преобразования k-й столбец явно не обрабатывается, поскольку он в последующих преобразованиях не используется;

81

2) если в процессе преобразовании необходимо явно сформировать единичную матрицу, то заголовок первого цикла следует заменить на for j n 1,1 step 1, а второй цикл начинать с j k;

3) каждое очередное преобразование матрицы предваряется процедурой выбора ведущего элемента, которая приведена ниже:

k max k , Amax Akk if k n then

{

for i (k 1), n

{

Amod Aik

if Amod Amax then

{

Amax Amod , k max i

}

}

}

if Amax nul ( 0) then

{

det 0 (матрица вырожденная) выход изпроцедуры

}

if k max k then

{

for j k,(n 1) (переставляемстроки)

{

buf Akj , Akj A(k max) j

A(k max) j buf

}

det det

}

det det* Akk (вычислениеопределителя)

82

Переменная det используется процедурой выбора ведущего элемента для хранения значения определителя, а nul – для хранения машинного нуля, используемого для проверки действительных чи-

сел на нуль (обычно nul 10 10 и может корректироваться пользователем для фильтрации уровня ошибок округления, возникающих в процессе вычисления).

Листинг программы для данного метода на С, написанной в среде CodeBlocks, приведен ниже:

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <windows.h> #include <math.h> #include <time.h>

#define B(i,j) MM[i*(n+1)+j] //исходная система #define A(i,j) M[i*(n+1)+j] //приводимая система

float *M,*MM,det;

void metod_G_J();

void select_Amax(int k); void b_Ax();

int main()

{

int i,j,c; char s[2];

SetConsoleCP(1251); //чтобы воспринимала русские буквы

SetConsoleOutputCP(1251);

printf("*** Программа находит решение системы Ax=b методом Гаусса-Жордано

***");

printf("\nВведите размерность системы: "); scanf("%d",&n); n1=n-1; n2=n+1;

M=malloc(n*(n+1)*sizeof(float)); //расширенная матрица - (A+b) MM=malloc(n*(n+1)*sizeof(float));

printf("Введите 0/1 - задать систему случайным образом или вручную "); scanf("%d",&c);

switch (c){ case 0:

//инициализация датчика п.с. чисел текущим временем srand(time(NULL)); for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n+1;j++)B(i,j)=0.5-rand()/(RAND_MAX+1.0); //[-0.5;0.5] break;

default:

for (i=0;i<n;i++){ for (j=0;j<n;j++){

printf("Введите A(%d,%d): ",i,j);

83

scanf("%f",&B(i,j));

}

printf("Введите b(%d): ",i); scanf("%f",&B(i,n));

}

}

printf("Введенная система:\n"); for (i=0;i<n;i++){

for (j=0;j<n;j++){ printf("%.5f ",B(i,j)); A(i,j)=B(i,j);

}

printf("%.5f\n",B(i,n));

A(i,n)=B(i,n);

}

metod_G_J();

printf("Определитель матрицы системы = %.5f",det); if (fabs(det)<1.E-10){

printf("\nМатрица системы ВЫРОЖДЕННАЯ !");

}

else{

printf("\nРешение системы:\n"); for(i=0;i<n;i++){

printf("%.5f ",A(i,n));

}

printf("\nЧисло переставленных строк - %d",m); b_Ax();

printf("\nНевязка для полученного решения:\n"); for(i=0;i<n;i++){

printf("%.5f ",B(i,n));

}

}

printf("\nДля завершения программы введите любой символ и ENTER"); scanf("%s",&s);

return 0;

}

//п/п вычисляет невязку для полученного решения void b_Ax(){

int i,j; for(i=0;i<n;i++){

for(j=0;j<n;j++) B(i,n)=B(i,n)-B(i,j)*A(j,n);

}

}

//п/п реализует метод Гаусса-Жордано void metod_G_J(){

int i,j,k; float buf; det=1;m=0;

//приводим матрицу к единичному виду

for (k=0;k<n;k++) //цикл по преобразованиям

{

select_Amax(k);

84

if (fabs(det)<1.E-10){return;} for (j=n;j>k-1;j--){

A(k,j)=A(k,j)/A(k,k);

}

/*

buf=A(k,k); //можно и так

for (j=k;j<n+1;j++) A(k,j)=A(k,j)/buf;

*/

for (i=0;i<n;i++){ if (i!=k){

for (j=n;j>k-1;j--){ A(i,j)=A(i,j)-A(i,k)*A(k,j);

}

}

}

}

printf("Система преобразована к виду; \n"); for (i=0;i<n;i++){

for (j=0;j<n;j++){ printf("%.5f ",A(i,j));

}

printf("%.5f\n",A(i,n));

}

}

//процедура выбора ведущего элемента в k-м подстолбце void select_Amax(int k){

int i,kmax,j,k1=k+1; float Amod,Amax,buf;

Amax=fabs(A(k,k)); kmax=k; if (k<n-1){

for (i=k1;i<n;i++){ Amod=fabs(A(i,k));

if (Amod>Amax){Amax=Amod; kmax=i;}

}

}

if (Amax<1.E-10){ //матрица системы вырожденная det=0;return;

}

if (kmax!=k){

for (j=k;j<n+1;j++){ //переставлем строки buf=A(k,j);

A(k,j)=A(kmax,j);

A(kmax,j)=buf;

}

//printf("ТЕСТ => A(k,k), A(k,n) = %.3f %.3f\n",A(k,k),A(k,n)); det=-det;

m++; //число перестановок строк

}

det=det*A(k,k);

}

85

Скриншот с результатами ее работы

2.2.4. Нахождение обратной матрицы методом оптимального исключения Гаусса–Жордана

Полное преобразование матрицы методом оптимального исключения может быть записано в матричном виде

L(n)T (n) ... L(1)T (1) A E ,

из которого следует матричная форма нахождения обратной матрицы (так как по определению A 1 A E )

где T (i) – матрица перестановок при i-м преобразовании, а L(i) за-

дано (2.29).

Согласно выражению (2.31), если исходную матрицу A дополнить справа единичной матрицей E размерности n n , то в качестве алгоритма нахождения обратной матрицы можно использовать алгоритм (2.30), заменив в нем правые пределы циклов со значения n 1 на n n . При этом ту же замену необходимо выполнить и в

процедуре выбора ведущего элемента (2.24) при перестановке строк. После n преобразований на месте единичной матрицы будет распологаться обратная матрица.

86

В противовес сказанному, можно предложить более экономичный (по размеру используемой памяти и количеству операций) алгоритм нахождения обратной матрицы. В нем выбор ведущего элемента осуществляется в k-й правой подстроке с перестановкой соответствующих столбцов. В этом случае полное преобразование исходной матрицы будет записываеться в следующем матричном виде

L(n) ... L(1) AT(1) ...T(n) E .

Отсюда последовательно получим

AT(1) ...T(n) (L(n) ... L(1) ) 1E (AT(1) ...T(n) ) 1 (L(n) ... L(1) )E(T(1) ...T(n) ) 1 A 1 (L(n) ... L(1) )E A 1 (T(1) ...T(n) )(L(n) ... L(1) )E.

Таким образом, если единичную матрицу подвергнуть тем же преобразованиям (кроме перестановки столбцов), что и матрицу А, то для окончательного построения обратной матрицы из преобразованной единичной матрицы необходимо в последней переставить между собой строки с номерами, которые соответствуют номерам переставленных в процессе преобразования столбцов, но в обратной последовательности. Естественно, номера переставляемых столбцов предварительно должны быть сохранены в двумерном вспомогательном массиве.

Обсудим детали оптимального алгоритма расчета обратной матрицы. Обозначим соответствующие матрицы после ( k 1)-го преобразования

87

Обратите внимание на следующие обстоятельства.

1.В первой матрице левая часть, а во второй правая совпадают с фрагментом единичной матрицы, причем эти фрагменты таковы, что дополняют друг друга до полной единичной матрицы.

2.В процессе k-го преобразования в первой матрице k-й столбец

переходит в k-й столбец единичной матрицы (поскольку он в дальнейшем не используется, то его явно можно не обрабатывать), а во второй матрице появляется k-й столбец, отличный от k-го столбца единичной матрицы.

Все это позволяет сделать вывод, что обе матрицы можно хранить на месте исходной и во время k-го преобразования обрабатывать по единым формулам (2.32), которые получены в результате

88

Теперь приведем оптимальный алгоритм в развернутом виде:

det 1, m 0 (инициализацияпеременных) for k 1,n

{

вызовпроцедурувыбора ведущего элемента в подстроке (см. ниже) for i 1,n

{

}

Akk 1 Akk

}

вызовпроцедуры, переставляющейстрокивобработаннойматреце(см. ниже)

Здесь если возвращается нулевое значение определителя матрицы, то матрица – вырожденная, или плохо обусловлена.

Рассмотрим алгоритм процедуры выбора ведущего элемента, в котором для хранения номеров переставляемых столбцов используется массив Mij i 1, 2; j 1, n , а в переменной m хранится число

выполненных перестановок:

89

k max k, Amax Akk if k n then

{

}

det det, m m 1, M1m k, M 2 m k max

}

det det* Akk (вычислениеопределителя)

Процедура, переставляющая строки в преобразованной матрице:

if m 0 then выходизпроцедуры

for l m,1 step 1 (переставляем строкивобратном порядке)

{

m1 M1l m2 M 2l for j 1, n

{

buf Am1 j

Am1 j Am 2 j

Am2 j buf

}

}

90