Литература / Козин Р.Г. Алгоритмы численных методов линейной алгебры и их программная реализация

printf("\nПовторить вычисления для новых параметров итерационного процесса - введите 0, иначе 1: ");

scanf("%d",&fl);

}

break; case 1:

printf("\nВ матрице системы есть диагональный компонент = 0 !"); fl=1;

break; case 2:

printf("\nМетод разошелся !"); break;

}

}

printf("\nДля завершения программы нажмите любую клавишу и ENTER "); scanf("%s",s); printf("\n");

return 0;

}

//п/п реализует итерационный метод верхней релаксации int iter_Up(){

int i,j,k,fl=0;

float nt,buf,norm,norm_old=0,t1=1-t; //нормировка системы for(i=0;i<n;i++){

A(i,n+1)=A(i,n);

if (fabs(A(i,i)<1.E-30))return 1; //есть A(i,i)=0 A(i,n)=t*A(i,n)/A(i,i); for(j=0;j<n;j++)if(i!=j)A(i,j)=t*A(i,j)/A(i,i);

}

it=0; //число выполненных итераций for(k=1;k<=iter;k++){ //цикл по итерациям

it=it+1; norm=0;

for(i=0;i<n;i++){ //цикл по уравнениям buf=t1*A(i,n+1)+A(i,n);

for(j=0;j<n;j++) if(i!=j)buf=buf-A(i,j)*A(j,n+1); nt=fabs(buf-A(i,n+1)); A(i,n+1)=buf; if(nt>norm) norm=nt;

}

epst=norm;

if(norm<=eps)return 0; //все хорошо if(norm>norm_old)fl=fl+1;else fl=0; if(fl>3)return 2; //процесс расходится norm_old=norm;

}

return 0;

}

//п/п симметрезует систему void var_M(){

int i,j,k;

for(i=0;i<n;i++){

for(j=0;j<=n;j++){

A(i,j)=0.;

51

for (k=0;k<n;k++)A(i,j)=A(i,j)+B(k,i)*B(k,j);

}

}

}

//п/п вычисляет невязку void Ax_b(){

int i,j; for(i=0;i<n;i++){

B(i,n+1)=B(i,n);

for(j=0;j<n;j++) B(i,n+1)=B(i,n+1)-B(i,j)*A(j,n+1);

}

}

Скриншоты с результатами работы программы:

52

Итерационные методы целесообразно применять для систем линейных уравнений с сильно разреженными нерегулярными матрицами. Подобные системы обыно возникают при решении разностными методами задач математической физики.

Рассмотрим пример использования метода Зейделя при решении задачи стационарной теплопроводности.

Словесная (вербальная) формулировка задачи: при заданной плотности источников q(x, y) найти распределение температуры

T(x, y) в плоской прямоугольной области, две границы которой

теплоизолированы, а через другие происходит теплообмен. Математически эта задача записывается следующим образом:

Здесь k,T0 , x , y – соответственно коэффициент теплопроводно-

сти, температура окружающей среды и коэффициенты поверхностной теплопроводности.

Для уменьшения зависимости задачи от исходных параметров перейдем к новым величинам:

53

Приведенную задачу будем решать разностным методом. Для этого область покроем прямоугольной сеткой (рис. 2.6), а уравнение теплопроводности и граничные условия запишем через значе-

ния искомой функции T (x, y) в узлах сетки (Tij ):

54

Разностная задача аппроксимирует исходную с точностью порядка O(hx2 , hy2 ) . Последнее легко проверить, если в разностные

аппроксимации всех производных подставить соответствующее разложение Тейлора, подобное данному:

где x [xi , xi hx ].

Исключив с помощью граничных условий из разностных уравнений для граничных узлов значения Tij , связанные с внешними

узлами, и разрешив после этого все линейные уравнения относительно диагональных элементов разреженной матрицы, получим систему уравнений в форме, соответствующей методу Зейделя.

Процедура реализация метода Зейделя для данной системы выглядит следующим образом:

все узлы сетки обрабатываются слева направо слой за слоем, начиная с нижнего слоя ( i 0 );

выход из итерационного процесса происходит по критерию

заданного числа итераций.

Реализация метода Зейделя для решения приведенной задачи теплопроводности выполнена в рамках пакета Maxima. Листинг соотвествующей программы и некоторые результаты ее работы приведены на рис 2.7–2.10. При тестировании использовались следующие исходные данные:

lx 2, hx hy 0,1, Nx 20, Ny 10,x y 1, q(x, y) (2 x)(1 y).

55

kill(all);

/* подпрограмма рассчитывает коэффициенты разностной разреженной системы */ /* линейных уравнений */

coef(hx,hy,alfx,alfy):=block

(

M:zeromatrix(9,3),

M[1,3]:hx^2*hy^2/(2*(hx^2+hy^2)), M[1,1]:M[1,3]*2/hx^2, M[1,2]:M[1,3]*2/hy^2, M[2,3]:M[1,3], M[2,1]:M[2,3]/hx^2, M[2,2]:M[1,2], M[3,3]:hx^2*hy^2/(2*(hx^2+hy^2+alfx*hx*hy^2)), M[3,1]:M[3,3]*2/hx^2,

M[3,2]:M[3,3]*2/hy^2,

M[4,3]:M[1,3], M[4,1]:M[1,1], M[4,2]:M[4,3]/hy^2,

M[5,3]:M[1,3], M[5,1]:M[5,3]/hx^2, M[5,2]:M[4,2],

M[6,3]:M[3,3], M[6,1]:M[3,1], M[6,2]:M[6,3]/hy^2, M[7,3]:hx^2*hy^2/(2*(hx^2+hy^2+alfy*hy*hx^2)), M[7,1]:M[7,3]*2/hx^2,

M[7,2]:M[7,3]*2/hy^2,

M[8,3]:M[7,3], M[8,1]:M[8,3]/hx^2, M[8,2]:M[7,2], M[9,3]:hx^2*hy^2/(2*(hx^2+hy^2+alfx*hx*hy^2+alfy*hy*hx^2)), M[9,1]:M[9,3]*2/hx^2,

M[9,2]:M[9,3]*2/hy^2

);

define(f(x,y),(2-x)*(1-y)); /* заданная функция тепловыделения */

/* подпрограмма рассчитывает значения плотности тепловыделения в узлах сетки */ create_q(Nx,Ny,hx,hy):=block

(

[i,j,x,y],

q:zeromatrix(Nx+1,Ny+1), for i thru Nx+1 do

(

x:hx*(i-1), for j thru Ny+1 do (y:hy*(j-1), q[i,j]:f(x,y))

)

);

/* подпрограмма реализует итерационный метод Зейделя для разностной системы */ /* линейных уравнений */

zadel(Nx,Ny,iter,eps):=block

(

[i,j,k,buf,nt],

it:0, T:zeromatrix(Nx+1,Ny+1), for k thru iter do

(

it:it+1, norm:0,

/* обработка нижнего слоя сетки */ buf:M[1,1]*T[2,1]+M[1,2]*T[1,2]+M[1,3]*q[1,1], nt:abs(T[1,1]-buf), T[1,1]:buf, if nt>norm then norm:nt, for i:2 thru Nx do

(

buf:M[2,1]*(T[i-1,1]+T[i+1,1])+M[2,2]*T[i,2]+M[2,3]*q[i,1], nt:abs(T[i,1]-buf), T[i,1]:buf, if nt>norm then norm:nt

Рис. 2.7. Листинг программы, рассчитывающей температуру над прямоугольной областью (начало)

56

),

buf:M[3,1]*T[Nx,1]+M[3,2]*T[Nx+1,2]+M[3,3]*q[Nx+1,1], nt:abs(T[Nx+1,1]-buf), T[Nx+1,1]:buf, if nt>norm then norm:nt, /* обработка промежуточных слоев сетки */

for j:2 thru Ny do

(

buf:M[4,1]*T[2,j]+M[4,2]*(T[1,j-1]+T[1,j+1])+M[4,3]*q[1,j], nt:abs(T[1,j]-buf), T[1,j]:buf, if nt>norm then norm:nt,

for i:2 thru Nx do

(

buf:M[5,1]*(T[i-1,j]+T[i+1,j])+M[5,2]*(T[i,j-1]+T[i,j+1])+M[5,3]*q[i,j], nt:abs(T[i,j]-buf), T[i,j]:buf, if nt>norm then norm:nt

), buf:M[6,1]*T[Nx,j]+M[6,2]*(T[Nx+1,j-1]+T[Nx+1,j+1])+M[6,3]*q[Nx+1,j], nt:abs(T[Nx+1,j]-buf), T[Nx+1,j]:buf, if nt>norm then norm:nt

), /* обработка последнего слоя сетки */

buf:M[7,1]*T[2,Ny+1]+M[7,2]*T[1,Ny]+M[7,3]*q[1,Ny+1], nt:abs(T[1,Ny+1]-buf), T[1,Ny+1]:buf, if nt>norm then norm:nt, for i:2 thru Nx do

(

buf:M[8,1]*(T[i-1,Ny+1]+T[i+1,Ny+1])+M[8,2]*T[i,Ny]+M[8,3]*q[i,Ny+1], nt:abs(T[i,Ny+1]-buf), T[i,Ny+1]:buf, if nt>norm then norm:nt

),

buf:M[9,1]*T[Nx,Ny+1]+M[9,2]*T[Nx+1,Ny]+M[9,3]*q[Nx+1,Ny+1], nt:abs(T[Nx+1,Ny+1]-buf), T[Nx+1,Ny+1]:buf, if nt>norm then norm:nt, if norm<=eps then return(0) /* 0 - заданная точность достигнута */

)

);

/* главная программа */ numer:true; fpprintprec:5;

hx:0.1; hy:0.1; alfx:1; alfy:1; coef(hx,hy,alfx,alfy); M; Nx:20; Ny:10; create_q(Nx,Ny,hx,hy); q;

h(x,y):=('q[round(x)+1,round(y)+1]);

plot3d(h(x,y),[x,0,20],[y,0,10],[grid,20,10], [legend, "График распределение плотности источников"]);

eps:0.00001; iter:1500; zadel(Nx,Ny,iter,eps); it;norm; tem(x,y):=('T[round(x)+1,round(y)+1]); plot3d(tem(x,y),[x,0,20],[y,0,10],[grid,20,10],[legend, "График распределение темпера-

туры"]);

/* поток через верхнюю границу y=1, численное интегрирование методом трапеций */ Ly:submatrix(T,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10); s1:((Ly[1,1]+Ly[21,1])/2+sum(Ly[i,1],i,2,20))*hx*alfy; /* поток через правую границу x=2 */ Lx:submatrix(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,T); s2:((Lx[1,1]+Lx[1,11])/2+sum(Lx[1,j],j,2,10))*hy*alfx;

print("Суммарный поток энергии через границу области = ",s:s1+s2); print("Суммарная плотность тепловыделения внутри области = ",integrate(2-x, x,0,2)*integrate(1-y,y,0,1));

Рис. 2.7. Окончание

57