Литература / Козин Р.Г. Алгоритмы численных методов линейной алгебры и их программная реализация

Алгоритм метода верхней релаксации:

Входные параметры процедуры: A, b, n, x, , K, . Используются буферные переменные: 1, buf , nt .

norm _ old norm

}

41

Обсудим программу, которая позволяет применить любой итерационный метод для решения заданной пользователем системы.

На рис. 2.3 и 2.4 приведены формы этой программы на начальной и конечной стадиях решения системы линейных уравнений методом верхней релаксации. Чтобы матрицу системы сделать симметричной и положительно определенной, систему следует умножить на исходную транспонированную матрицу. Если система не является плохо обусловленной, то такое преобразование обеспечит сходимость итерационного процесса. Для запуска выбранного

итерационного метода необходимо задать параметр , максимальное число итераций и требуемую точность x(k ) x(k 1) . По

окончанию итерационного процесса в таблице выдается решение x(k ) и невязка ( b Ax(k ) ).

Замечание. В принципе, в качестве критерия окончания итерационного процесса можно было бы использовать условие b Ax(k ) eps . Этот критерий

является более качественным, но на каждой итерации он потребует значительного объема дополнительных операций. К тому же, как видно из таблицы на рис. 2.4, применяемый критерий обеспечивает выполнение и этого критерия.

С помощью программы было проведено исследование сходимости методов простой итерации и верхней релаксации для модельной системы (см. таблицу на рис. 2.3). Результаты исследования представлены в табл. 2.1 и 2.2. Для преобразованной системы метод Якоби также сходится. При этом ее решение определяется с заданной точностью за 1895 итераций. Заметим, что в этом случае

т.е. «необходимое и достаточное условие» выполнено, а «только достаточное условие» – нет.

Сравнивая все полученные результаты, можно сделать вывод, что для выбранной модельной системы среди всех итерационных методов метод верхней релаксации имеет наиболее высокую скорость сходимости. Естественно этот вывод не распространяется на все системы.

42

Таблица 2.1

Зависимость предельного числа итераций от параметра для метода верхней релаксации (принято 0,0000001 )

Таблица 2.2

Зависимость предельного числа итераций от параметра (при 0,0000001 ) для метода простой итерации

при 1 29,866, 2 0,1339, опт 0,066

Характер зависимости, зафиксированной в табл. 2.2, хорошо объясняет рис. 2.5.

В качестве второго примера рассмотрим систему

45

Результаты, полученные с помощью программы для данной системы, приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

Значения оптимального значения параметра и числоитераций,

использованное для получения решения системы с точностью xk xk 1 0,0000001

Для сравнения приведем листинг и результаты работы программы, реализующей метод верхней релаксации в рамках пакета xwMaxima:

kill(all);

/* п/п метода верхней релаксации */ metod_UR(A,n,t,eps,k_Max):=block

(

[i,j,k,norm_old,nt,fl,t1,norm,buf], code:0,norm_old:0,fl:0,t1:1-t,k_Out:0, /* нормировка системы */

for i thru n do

(

A[i,n+2]:A[i,n+1],

if abs(A[i,i])<0.00000001 then return(code:1), A[i,n+1]:t*A[i,n+1]/A[i,i],

for j thru n do if i#j then A[i,j]:t*A[i,j]/A[i,i]

), /* цикл по итерациям */

for k thru k_Max do

(

norm:0,k_Out:k_Out+1, /* цикл по уравнениям */ for i thru n do

(

buf:t1*A[i,n+2]+A[i,n+1],

/* обработка текущего уравнения */

for j thru n do if i#j then buf:buf-A[i,j]*A[j,n+2], nt:abs(buf-A[i,n+2]), A[i,n+2]:buf,

if nt>norm then norm:nt

),

if norm<=eps then (eps_Out:norm, return(code:0)), if norm>norm_old then fl:fl+1 else fl:0,

46

if fl>3 then (eps_Out:norm,return(code:2)), norm_old:norm

)

); /* главная программа */

numer:true;

fpprintprec:5;

n:5; eps:0.00001; k_Max:5000; t:1;

A:zeromatrix(n,n); b:zeromatrix(n,1); x:zeromatrix(n,1);

/* формируем систему случайными числами [–0.5: 0.5] */

for i thru n do for j thru n do A[i,j]:random(1.0)-0.5; A:A.transpose(A); for i thru n do b[i]:random(1.0)-0.5;

for i thru n do for j thru n do b[i]:b[i]+A[i,j];

A:addcol(A,b,x); /* формируем расширенную матрицу */ A_old:copy(A);

metod_UR(A,n,t,eps,k_Max);

print("code, eps, k : ",code,", ",eps_Out,", ",k_Out); eps; k_Max;

for i thru n do x[i,1]:A[i,n+2]; x; /* решение */ /* строим зависмость */

t:0.05; dt:0.05; Lt:[]; Lk:[]; for i thru 45 do

(

A:copy(A_old), metod_UR(A,n,t,eps,k_Max),

if code=0 then (Lt:append(Lt,[t]), Lk:append(Lk,[k_Out])), t:t+dt

);

Lt; Lk;

plot2d([discrete,Lt,Lk],[gnuplot_preamble,"set grid;"],[xlabel,"параметр - t"], [ylabel,"число использованных итераций - iter"]);

Сформированная система

Полученное решение

47

Два списка, по которым для заданной точности 0,00001 построена зависимость числа итераций от параметра :

Рассмотрим еще один вариант программы, реализующей метод верхней релаксации на С в среде программирования CodeDlocks.

Приведем сценарий программы.

1.Ввод размерности системы, запрос памяти под систему и ее преобразованный вариант – (AT Ax AT b) .

2.Ввод системы вручную, или сформировать, используя датчик псевдослучайных чисел из диапазона [–0,5; 0,5] – используется

расширенная матрица Ain 1 bi .

3.Преобразование системы AT Ax Ab .

4.Ввод K, , .

5.Вызов процедуры, реализующей метод – вернуть решение в

последнем столбце расширенной матрицы Ain 2 xi .

6.Выдача полученного решения, достигнутого и числа использованных итераций.

7.Выдача невязки для полученного решения b Ax.

48

8. Если есть запрос на поиск оптимального значения параметра, то осуществить его и выдать полученные при этом величины:

число затраченных итераций и оптимальное .

9. Предоставить возможность повторить вычисления с новыми итерационными параметрами.

Листинг программы:

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <windows.h> #include <math.h> #include <time.h>

#define B(i,j) MM[i*(n+2)+j] #define A(i,j) M[i*(n+2)+j]

float *M,*MM,eps,epst,t; int n,iter,it;

int iter_Up(); void var_M(); void Ax_b();

int main()

{

int i,j,code,fl=0,c; int fl1=0,iopt; float topt,dt=0.05; char s[2];

SetConsoleCP(1251); //чтобы воспринимала русские буквы

SetConsoleOutputCP(1251);

printf(" *** Программа находит решение системы методом верхней релаксации ***

");

printf("\nВведите размерность системы: "); scanf("%d",&n); M=malloc(n*(n+2)*sizeof(float)); MM=malloc(n*(n+2)*sizeof(float));

printf("Введите 0/1 - задать систему случайным образом или вручную "); scanf("%d",&c);

switch (c){ case 0:

//инициализация датчика п.с. чисел текущим временем srand(time(NULL)); for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n+1;j++)B(i,j)=0.5-rand()/(RAND_MAX+1.0); break;

default:

for (i=0;i<n;i++){ for (j=0;j<n;j++){

printf("Введите B(%d,%d): ",i,j); scanf("%f",&B(i,j));

}

printf("Введите b(%d): ",i);

49

scanf("%f",&B(i,n));

}

}

printf("Введенная система:\n"); for (i=0;i<n;i++){

for (j=0;j<n;j++){ printf("%f ",B(i,j));

}

printf("%f\n",B(i,n));

}

var_M(); //умножаем систему на At printf("Преобразованная система:\n"); for (i=0;i<n;i++){

for (j=0;j<n;j++){ printf("%f ",A(i,j));

}

printf("%f\n",A(i,n));

}

while (fl==0){

printf("Введите число итераций,точность и параметр t: "); scanf("%d %f %f",&iter,&eps,&t);

//printf("Введенные точность, число итераций и t = %f %d %.2f",eps,iter,t); var_M();

code=iter_Up(); switch (code)

{

case 0: //все хорошо

printf("\nКод = %d, Число использованных итераций = %d, Точность = %.8f",code,it,epst);

printf("\nРешение:\n"); for(i=0;i<n;i++){

printf("%f ",A(i,n+1));

}

Ax_b(); printf("\nНевязка:\n"); for(i=0;i<n;i++){

printf("%f ",B(i,n+1));

}

printf("\nНайти отимальное t -> Введите 0, иначе 1 - ввод новых параметров, 2 -

выход: "); scanf("%d",&fl1); if (fl1==1) break;

if (fl1==2) break;

if(fl1==0){ //нужно найти оптимальное t iopt=iter;t=0;

for(i=0;i<40;i++){

code=iter_Up(); if((code==0)&&(it<iopt)){iopt=it;topt=t;}

}

printf("\nПолучены следующие оптимальные значения t и iter: %.3f; %d",topt,iopt);

50