Литература / Козин Р.Г. Алгоритмы численных методов линейной алгебры и их программная реализация

Стратегия 2.

it 0 числоиспользованных итераций do while it it max

F min F (rx, ry)

do while h 0,00000001

xrx h * dx

yry h * dy Ft F(x, y)

if Ft F min then rx x, ry y, F min Ft else h h / 3

loop

if F min eps then exit do it it 1

loop

211

2. Алгоритм метода покоординатного спуска it 0 число использованных итераций

do while it it max for i 0 to 1

'определениенаправления спуска для даннойкоординаты h 0,001

s 1

F min F(rx, ry)

a :

xrx h * s * (1 i)

yry h * s *i

Ft F(x, y)

if Ft F min then goto b

if s 1then goto c else s 1, goto a

b :

h 0,01* s

'одномерныйспуск вдольданнойкоординаты do while h 0,00000001

rx rx h * (1 i) ry ry h * i

Ft F(rx,ry)

if Ft F min then F min Ft else h h / 3 loop

c :

if F min eps then exit do it it 1

loop

Здесь it max – максимальное число допустимых итераций (спусков); h – параметр спуска; eps – требуемая точность.

Ниже показано, как в рамках пакета Maxima решаются некоторые из ренее рассмотренных задач (рис. 4.9–4.11).

/* строит отображение, которое дает полином для заданной окружности */

/* здесь: с-список коэффициентов полинома,x0,y0,r-центр окружности и ее радиус */ /* n-число исследуемых точек на окружности */

otobragenieP(c,x0,y0,r,n):=block

212

for i:0 thru n do

(

xt:x0+r*cos(dfi*i),yt:y0+r*sin(dfi*i),

/* функция введена ранее - вычисляет значение полинома в заданной точке */ p(c,xt,yt),

lx:append(lx,[p1]),ly:append(ly,[p2]) /* добавляем элементы в списки */ ),

/* использованием 2-х списков строим в отдельном окне график отображения*/ plot2d([discrete,lx,ly])

);

numer:true;

fpprintprec:5; /* в выводимом числе 5 цифр, не считая точки */ c:[1,-5,8,6];

/* локализация корней полинома на плоскости */ n:length(c);

c1:makelist(abs(c[i]),i,2,n); /* формирование 2-х вспомогательных списков */ c2:makelist(abs(c[i]),i,1,n-1);

/* оценка местоположения корней полинома на комплексной плоскости */ print(" Mаксимальный R = ",1+lmax(c1)/abs(c[1]));

print(" Mинимальный r = ",1/(1+lmax(c2)/abs(c[n]))); r:9; x0:0; y0:0;

n:960; otobragenieP(c,x0,y0,r,n); /* строим отображение */;

pol(x):=x^3-5*x^2+8*x-6;

/* проверяем - есть у полинома действительные корни на отрезке [-9,9] */ /* строим график функции в основном окне */ wxplot2d(pol(t),[t,-9,9],[color,red]);

wxplot2d(pol(t),[t,2.5,3.5],[color,red]); /* уточняем положение действ.корня */

/* внутренняя функция находит корни полинома */ to_poly_solve([x^3-5*x^2+8*x-5=0], [x]);

Результаты выполнения команд и подпрограмм листинга:

Корни полинома

213

Рис. 4.10. Проверка наличия уполинома дейсивительного корня на отрезке [-9,9].

Рис. 4.11. Уточнение положения дейсивительного корня на отрезке [2,5; 3,5]

215

4.3. Метод парабол для нахождения всех корней полинома

Метод парабол является наиболее надежным алгоритмом поиска всех корней полинома. Метод не требует задания приближенных значений корней и определяет их последовательно один за другим. Сходимость метода теоретически не доказана, но не известно ни одного случая, когда бы метод не сходился.

Для запуска метода произвольно выбираются три начальные точки на комплексной плоскости z x iy z(x, y) , обычно

z0 ( 1, 0) , z1 (1, 0) , z2 (0, 0) . По значениям полинома в этих точках Pn (z0 ), Pn (z1 ), Pn (z2 ) (для их расчета используется схема

(4.3)) строится интерполяционный многочлен Лагранжа второго порядка:

L0 (z z1 )(z z2 ) L1(z z0 )(z z2 ) L2 (z z0 )(z z1 )

Az2 Bz C,

216

тройки отбрасывается. По новым точкам тем же порядком строится очередная новая точка и т.д. Построенная таким образом последовательность точек всегда сходится к некоторому корню.

Процесс повторяется до тех пор, пока значение полинома для новой точки z2 (или расстояние между старой и новой точками z2 )

не будет меньше заданной малой величины P(z2 ) eps .

После того, как корень найден, порядок полинома понижается с использованием схем (4.6) или (4.9), соответственно, для действительного корня (мнимая часть корня равна нулю) или для случая комплексно-сопряженных корней (мнимая часть корня отлична от нуля). Затем поиск корня продолжается уже для полинома меньшего порядка.

Это повторяется пока текущая размерность полинома больше двух. В противном случае корни полинома второго или первого порядка находятся просто по известным формулам.

Замечание. Все переменные (кроме коэффициентов полинома) в алгоритме должны быть описаны как комплексные. Соответственно, и все операции над ними должны учитывать их природу.

На рис. 4.12 приведены корни полинома, вычисленные методом парабол в рамках программы, представленной в предыдущем разделе. При реализации алгоритма для комплексных чисел был определен новый тип переменной – комплексное число, состоящее из действительной и комплексной частей. Все такие операции с комплексными числами, используемые в алгоритме, как

были оформлены в виде соответствующих подпрограмм.

217

Листинги на языке Visual Basic этих подпрограмм и процедуры, реализующие метод парабол, приведены ниже.

‘складывает два комплексных числа

Sub addc (a As complex, b As complex, c As complex) a.r = b.r + c.r

a.c = b.c + c.c End Sub

‘вычитание для двух комплексных чисел

Sub subc (a As complex, b As complex, c As complex) a.r = b.r - c.r

a.c = b.c - c.c End Sub

‘умножение двух комплексных числа

Sub mulc (aa As complex, b As complex, c As complex) aa.r = b.r * c.r - b.c * c.c

aa.c = b.r * c.c + b.c * c.r End Sub

‘деление для двух комплексных чисел

Sub divc (a As complex, b As complex, c As complex) Dim d#

d = c.r * c.r + c.c * c.c If d = 0# Then

a.r = 0 a.c = 0 Exit Sub

End If

a.r = (b.r * c.r + b.c * c.c) / d a.c = (c.r * b.c - b.r * c.c) / d End Sub

‘корень квадратный из комплексного числа

Sub sqrtc (a As complex, b As complex) Dim r#

r = Sqr(b.r * b.r + b.c * b.c) a.r = Sqr((r + b.r) / 2)

a.c = Sqr((r - b.r) / 2) If b.c < 0 Then

a.c = -a.c End If

End Sub

Sub muller ()

ReDim zn(3)

ReDim l(3)

Dim dz#, dz1#, dz2#, normp#

Dim it%, txt$

Dim z0 As complex

Dim z1 As complex

Dim z2 As complex

219

220