Литература / Козин Р.Г. Алгоритмы численных методов линейной алгебры и их программная реализация

Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Численные методы

Файл:

В табл. 3.3 приведены значения параметра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2025

Размер:

4.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2619 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Таблица 3.2

n n

Косвенная оценка погрешности методов ( Aii ( A)i )

i 1 i 1

для случайных матриц, компонентами которых являлись псевдослучайные равномерно распределенные числа из интервала [–0,5; 0,5]

Размерность матрицы	3	5	7	10	15
Метод Данилевского	0	0	0	0	0
Метод Крылова	0	<=0.000001	<0,0000014	<0,000006	<0,000007

3.6. Определение собственных векторов в общем случае

Способ 1. Собственный вектор для известного собственного значения должен удовлетворять системе уравнений

(A11 )x1 A12 x2		... A1n xn 0;
A21x1	(A22 )x2	... A2n xn 0;	(3.37)
...;			(3.37)
...;
An1x1	An2 x2 ... (Ann )xn 0.

Определитель этой системы равен нулю, т.е. уравнения линейно зависимы. Поэтому собственный вектор x можно найти следующим образом.

1. Поскольку собственный вектор x задается с точностью до множителя, то положим одну из компонент вектора x равной еди-

нице, например x1 1 .

2.Отбросим одно из уравнений, так чтобы оставшиеся уравнения были линейно независимыми, например последнее.

3.Далее решаем получившуюся неоднородную систему уравнений любым известным методом:

A12 x2 ...	A1n xn (A11 );
(A22 )x2	... A2n xn A21	;	(3.38)
...;			(3.38)
...;

An 12 x2 ... (An 1n )xn An 11

и находим оставшиеся компоненты собственного вектора.

Если решение системы невозможно, то следует сменить номер фиксируемого компонента или отбросить другое уравнение в ис-

181

ходной системе. Также следует поступить при нахождении другого собственного вектора, если собственное значение кратно. Поскольку не всегда произвольная матрица имеет полную систему собственных векторов, то после нахождения нескольких вариантов собственных векторов необходимо проверить их линейную независимость, например с помощью процедуры ортогонализации.

Способ 2. Поскольку, как правило, собственные значения i (например, из-за ошибок округления) определяются с погрешностью, то определитель матрицы (A i E) всегда будет отличен

от нуля. С учетом этого обстоятельства для нахождения соответствующего собственного вектора предложен метод обратной ите-

рации: берется произвольный вектор	x(0)	x(0)	и выполняется
		x(0)

итерационный процесс:

							x	(k )
		(k )		(k 1)		(k )	x
для k 1, K,	(A i E)x		x		, x
для k 1, K,	(A i E)x		x		, x		x(k )
							x(k )

Для его сходимости обычно бывает достаточно 2–3 итераций. Сходимость метода обосновывается следующим образом. Пусть

матрица A имеет полную линейно независимую систему собствен-

ных векторов

x(s) . Тогда векторы

x(k ) , x(k 1)

можно представить в

виде разложений

x(k ) as(k ) x(s) ,

x(k 1) as(k 1) x( s) .

Подставив эти разложения в систему, получим

(k )

(k 1)

(k )

( k 1)

(s)

. (3.39)

(A i E)x

[as

( s i )

Отсюда, поскольку вектора

x(s)

–

линейно независимые,

следуют

соотношения

a(k 1)

as(k )

s 1, n .

( s i )

(k )

, s i .

Но так как i

i , то ai

182

3.7. Метод вращения

Любая симметричная действительная матрица может быть приведена к диагональному виду с помощью подобного ортогонального преобразования

	D T 1 AT ,	(3.40)
где	T – ортогональная матрица, удовлетворяющая	условию
T 1	TT .

Если такая матрица T найдена, то диагональные компоненты матрицы D совпадают с собственными значениями матрицы A, а столбцы матрицы T – с ее соответствующими собственными векто-

рами. Действительно, пусть k				Dkk . Тогда, очевидно,
		De(k ) k e(k ) ,	e(k ) ei(k ) ik , i 1, n .
Отсюда следует, что
		T 1 ATe(k ) k e(k )			ATe(k ) kTe(k ) ,	(3.41)
т.е.	k	– собственное значение матрицы A, а Te(k ) T				, i 1, n –
	k				ik

соответствующий ему собственный вектор.

В методе вращения матрица T находится с помощью серии подобных ортогональных преобразований, которые последовательно уменьшают сумму квадратов недиагональных элементов исходной матрицы A. Указанные преобразования выполняются с использованием матриц вращения (отличается от единичной матрицы только

четырьмя компонентами Tll , Tkk , Tlk , Tkl )

		l			k
	1	0	0	0	0	0	0
	0	cos	0	0	sin	0	0		... l

	0	0	1	0	0	0	0

T (l, k, )								.
	0	0	0	1	0	0	0

	0	sin	0	0	cos	0	0		... k

	0	0	0	0	0	1	0
	0	0	0	0	0	0	1

(3.42)

183

Рис. 3.11. Изменение проекций произвольного вектора x при повороте системы координат на угол

Матрица T (l, k, ) называется матрицей вращения, поскольку с помощью такой матрицы осуществляется пересчет проекций про-

извольного вектора при повороте системы координат на угол

(рис. 3.11):

x1 xcos y sin ; y1 xsin y cos .

Легко проверить, что для матрицы вращения выполняется условие ортогональности, например

cos		sin cos	sin	1	0
T T T	sin				1	.
	sin	cos sin	cos	0	1

Распишем формулы, по которым текущие матрицы A и T (T первоначально задается в виде единичной матрицы) пересчитываются в процессе одного преобразования.

184

1. Первая фаза преобразования

A AT (l, k, )

Ail

Aik

cos

sin

cos

ианалогично T T T (l, k, ) меняет компоненты текущих матриц A

иT только в l-м и k-м столбцах (i 1, n )

			Ail	cos Aik sin ;
		Ail	Ail	cos Aik sin ;
			Ail sin Aik cos ;
		Aik	Ail sin Aik cos ;
		T	T cos T				sin ;
		il	il			ik
		T	T sin T					cos .
		ik		il		ik
2. Вторая фаза преобразования
					T
			A T			(l, k, )A
1						0
1						0		A
	cos		sin						11
	cos		sin
		1
	sin		cos
	sin		cos
0						1
0						1		An1
				l		k

(3.43)

(3.44)


	A
	1n	... l
Alj

		... k
Akj

	Ann

меняет компоненты текущей матрицы A только в l-й и k-й строках

( j 1, n )

	sin ;
Alj Alj cos Akj		(3.45)


Akj Alj sin Akj cos .

185

С помощью формул (3.43) и (3.45) легко получить следующие соотношения.

1. Для i l, k

cos

2Ail Aik sin cos

Ail

Aik

Ail

Aik sin

(3.46)

A2 sin2

cos2 A 2A A sin cos A2

il ik

и аналогично для j l, k

	2	2	2	2		(3.47)
	Alj	Akj Alj		Akj .		(3.47)
2.

Alk Alk		cos Akk sin
A sin cos A cos2 A sin2 A					sin cos
ll	lk		kl	kk		(3.48)
A (cos2	sin2	) (A		A )sin cos		(3.48)
lk			kk	ll

Alk cos 2 12 (All Akk )sin 2 .

Сучетом формул (3.47) и (3.48) сумму квадратов недиагональных элементов матрицы после текущего подобного преобразования

можно представить следующим образом:

2	2	2	1	[2Alk cos 2 (All Akk )sin 2 ]	2
Aij	Aij	2Alk	2	[2Alk cos 2 (All Akk )sin 2 ]	. (3.49)
i j	i j		2

Отсюда легко выводятся условия, обеспечивающие на каждой итерации уменьшение суммы квадратов недиагональных элементов:

1) выбор параметров l и k

Alk max	Aij	;	(3.50)
i j
i j

2) выбор параметра
			2Alk
	1 arctg		2Alk			.
	1 arctg					.
	2		All	Akk
Если A A , то		и sin		2	sign( A		), cos
				2

ll kk	4			2		lk
	4			2

(3.51)

22 .

Замечание. Для расчета sin , cos можно (но не обязательно) использовать формулы, нетребующие вычисления угла :

186

					1		1						2
			sin sign( p)								, cos	(1 sin		)
			sin sign( p)		2	1	(1	p	2		, cos	(1 sin		)
					2		(1	p		)
где	p	2Alk		.
где	p	(A A )		.
		ll	kk

Алгоритм метода вращения схематично можно представить в виде (его программная реализация для пакета Maxima приведена в листинге, рис. 1.2)

for it 1, Iter

{

находим Alk

if Alk eps then "выходиз цикла" вычисление sin , cos

for i 1, n

{

вычисляем по формулам (3.43), (3.44)

}

for j 1, n

{

вычисляем по формулам (3.45)

}

Здесь Iter – максимальное число итераций – преобразований, eps – допустимое значение максимального по модулю недиаго-

нального элемента. Результаты вычислений по первым формулам в (3.43)–(3.45) на каждом шаге вначале следует сохранять в буферной переменной и лишь затем переносить в соответствующее место исходной матрицы и формируемой матрицы вращения.

Поиск максимального по модулю недиагонального элемента можно выполнить следующим образом:

187

max 1, l 0, k 0 for i 1,(n 1)

{

for j i 1, n

{

buf Aij

if buf max then {max buf , l i, k j}

}

Метод устойчив к ошибкам округления и обладает асимптотической скоростью сходимости. Действительно, из соотношения

			2		2			2
			Aij	Aij 2Alk
			i j	i j
имеем (так как Aij2								Aij2
	n(n 1)Alk2 Alk2							i j		)
	n(n 1)Alk2 Alk2							n(n 1)		)
i j								n(n 1)
	2		2		2					2
Aij		Aij		1			q Aij
Aij		Aij		1			q Aij
i j			i j		n(n 1)				i j
и, следовательно, после m-й итерации
		2		q	m	2				.	(3.52)
Aij				q	Aij					.	(3.52)
i j			текущая		i j			исходная

различных значений размерности n исходной матрицы.

188

Из таблицы видно, что с ростом n скорость сходимости метода быстро падает.

На рис. 3.12 и 3.13 приведены экраны программы, реализующей метод вращения (на начальной и конечной стадиях). Использована случайная матрица, компонентами которой являются псевдослучайные числа, равномерно распределенные на отрезке [0, 1]. Видно, что после 90 итераций выполняется инвариант – сумма найденных собственных значений (они расположены на диагонале преобразованной матрицы) равна сумме диагональных элементов исходной матрицы, т.е. следу матрицы.

Кроме того, проведено дополнительное тестирование надежности полученного решения (пункт меню «дополнительное_тестирование»). Его результаты представлены на рис. 3.14 и 3.15.

С помощью этой программы исследована зависимость среднего числа итераций, требуемых для нахождения с заданной точностью собственных значений случайной матрицы, от ее размерности. Результаты исследования представлены в табл. 3.4 и в графическом виде на рис. 3.16.

Таблица 3.4

Экспериментальная зависимость среднего числа требуемых итераций N в методе вращения от размерности n случайной матрицы

n	2	4	6	8	10	12
N	1	15	46	84	143	211

189

Рис. 3.12. Задание исходной случайной матрицы

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2619 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Литература