Литература / Козин Р.Г. Алгоритмы численных методов линейной алгебры и их программная реализация

– общее решение вырожденной системы

Рис. 2.25. Полученные результаты. Из общего решения вырожденной системы легко получить любое частное решение, напрмер:

при %r4 = 0 x = (0, 3, 0), при%r4 = 1 x = (1, 1, 1) и т.д. Сравните с рис. 2.22

Приведем листинг программы на языке С для среды CodeBlocks, который реализует лишь алгортим первого метода ортогонализации:

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <windows.h> #include <math.h> #include <time.h>

#define B(i,j) MM[i*(n+1)+j] //исходная система #define A(i,j) M[i*(n+1)+j] //приводимая система

112

printf("*** Программа находит решение системы Ax=b методом ортогонализации

***");

printf("\nВведите размерность системы: "); scanf("%d",&n);

M=malloc((n+1)*(n+1)*sizeof(float)); //расширенная матрица - (A+b)+строка(0,..,1) MM=malloc(n*(n+1)*sizeof(float));

printf("Введите 0/1 - задать систему случайным образом или вручную "); scanf("%d",&c);

switch (c){ case 0:

//инициализация датчика п.с. чисел текущим временем srand(time(NULL)); for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n+1;j++)B(i,j)=0.5-rand()/(RAND_MAX+1.0); //[-0.5;0.5] break;

default:

for (i=0;i<n;i++){ for (j=0;j<n;j++){

printf("Введите A(%d,%d): ",i,j); scanf("%f",&B(i,j));

}

printf("Введите b(%d): ",i); scanf("%f",&B(i,n));

}

}

printf("Введенная система:\n"); for (i=0;i<n;i++){

for (j=0;j<n;j++){ printf("%.5f ",B(i,j)); A(i,j)=B(i,j);

}

printf("%.5f\n",B(i,n)); A(i,n)=-B(i,n); A(n,i)=0;

}

A(n,n)=1; //!!! тест

printf("Преобразуемая матрица\n"); for (i=0;i<n+1;i++){

for (j=0;j<n+1;j++){ printf("%.5f ",A(i,j));

}

printf("\n");

}

//!!! тест c=metod_Ort(); if (c==1){

printf("\nМатрица системы ВЫРОЖДЕННАЯ !");

}

else{

printf("\nРешение системы:\n"); for(j=0;j<n;j++){

printf("%.5f ",A(n,j));

}

b_Ax();

printf("\nНевязка для полученного решения:\n");

113

for(i=0;i<n;i++){ printf("%.5f ",B(i,n));

}

}

printf("\nДля завершения программы введите любой символ и ENTER"); scanf("%s",&s1);

return 0;

}

//п/п вычисляет невязку для полученного решения void b_Ax(){

inti,j;

for(i=0;i<n;i++){

for(j=0;j<n;j++) B(i,n)=B(i,n)-B(i,j)*A(n,j);

}

}

//п/п реализует 1-ый метод ортогонализации

Int metod_Ort(){ inti,j,k,cod;

float s;

//процедура Грамма-Шмидта for (k=0;k<n;k++){

cod=norm(k);

if (cod==1) {return 1;} for (i=k+1;i<n+1;i++){

s=sp(i,k);

for (j=0;j<n+1;j++){A(i,j)=A(i,j)-s*A(k,j);}

}

}

for (j=0;j<n+1;j++) A(n,j)=A(n,j)/A(n,n); //получаем решение //!!! тест

printf("\nПолученная система\n"); for (i=0;i<n+1;i++){

for (j=0;j<n+1;j++){ printf("%.5f ",A(i,j));

}

printf("\n");

}

//!!! тест return 0;

}

//п/п вычисляет скалярное произведение строк A(i,_) и A(k,_) float sp(inti,int k){

int j; float s; s=0;

for (j=0;j<n+1;j++){ s=s+A(i,j)*A(k,j);

}

return s;

}

//п/п нормирует k-ый вектор, возвращает 1 - матрица вырожденная, иначе - 0 int norm(int k){

int j;

float norma; norma=sp(k,k);

114

if (norma<1.E-10){return 1;} norma=sqrt(norma);

for (j=0;j<n+1;j++){ A(k,j)=A(k,j)/norma;

}

return 0;

}

Это скриншоты с результатами ее работы:

115

2.2.6. Второй метод ортогонализации

Этот метод применим к системам с симметричной положительно определенной матрицей. Поскольку только с помощью такой матрицы можно определить скалярное произведение (x, Ay) , удо-

влетворяющее всем свойствам, присущим скалярному произведению.

1.(x, Ay) ( y, Ax) .

2.(x z, Ay) (x, Ay) (z, Ay) .

3.( x, Ay) (x, Ay) .

4.(x, Ax) 0 при x 0 .

Например, проверим свойство 1, так как выполнение остальных свойств очевидно:

(x, Ay) xi Aik yk Aik xi yk ,

( y, Ax) yk Aki xi Aki xi yk .

Видно, что для симметричной матрицы правые, а, следовательно, и левые части этих выражений равны.

Теперь рассмотрим, как строится решение системы Ax b данным методом.

1. Берем в пространстве Rn полную линейно независимую систему векторов E j , j 1, n , в виде столбцов единичной матрицы (ее определитель равен 1):

116

3. Ищем решение системы в виде разложения по векторам построенного базиса, который сформирован на месте единичной матрицы

j 1

Для определения неизвестных коэффициентов разложения подставим разложение (2.37) в исходную систему Ax b , а затем умно-

жим ее скалярно последовательно на вектора Ei , i 1, n :

j1

Ввиду ортонормированности нового базиса в левой части уравне-

Очевидно, метод потребует значительного количества операций, но в методическом плане он представляет определенный интерес. По этой причине с ним полезно познакомиться.

2.2.7. Метод квадратного корня (метод Холецкого)

Метод применим только для систем с симметричной положительно определенной матрицей.

Согласно этому методу исходная матрица представляется в виде произведения двух матриц

где B – нижняя треугольная матрица.

118

Такое разложение возможно только для симметричной положительно определенной матрицы:

1)AT (BBT )T (BT )T BT BBT A ;

2)(Ax, x) (BBT x, x) (BT x, BT x) 0 .

Чтобы найти рекуррентные формулы для определения компонент матрицы B, запишем матричное соотношение (2.41) для четырехмерного случая

Отсюда, сравнивая компоненты левой и правой матриц, получим

B44 A44 B412 B422 B432 .

Здесь в двух верхних строчках под корнем явно присутствуют определители первых миноров исходной матрицы, а согласно критерию Сильвестра для положительно определенной матрицы они положительны. Последнее утверждение справедливо и для осталь-

119

ных подкоренных выражений. Это еще раз подтверждает необходимость того, чтобы матрица была положительно определенной.

Эти формулы по индукции позволяют записать следующий алгоритм расчета всех компонент матрицы B для n-мерного случая:

j 1

}

При программной реализации этого алгоритма перед вычислением корня необходимо предварительно проверять, является ли подкоренное выражение положительным. Если это условие не выполняется, то исходная матрица – не положительно определенная. Отметим, что этот алгоритм можно использовать для проверки положительной определенности произвольной симметричной матрицы.

После того как разложение матрицы A выполнено, система Ax b распадается на две системы с треугольными матрицами

120