Литература / Кулябичев Ю.П. Овсянникова Н.В. Загребаев А.М. Крицына Н.А.Насонов В.А. Методы обработки статистической информации в задачах контроля ядерных энергетических установок

мые по формулам (2.5.7), представляют собой каноническое разложение случайной функции ϕ(r ).

Заметим, что каждая из построенных функций представляет собой линейную комбинацию выбранных «базисных» функций

{ Ψk (r )}, коэффициенты которой (элементы матрицы Λ ) опреде-

ляются вероятностными характеристиками вектора A . Поскольку последние на практике заменяются их статистическими оценками, можно вести речь лишь о построении приближенного канонического разложения по описанной методике.

Таким образом, задача построения приближенного канонического разложения случайной функции ϕ(r ) по результатам статистического эксперимента разбивается на следующие этапы:

1)выбирается набор координатных функций { Ψk (r )};

2)для M реализаций случайной функции ϕ(r ) методом наи-

меньших квадратов производится аппроксимация показаний датчиков выбранным набором функций:

ϕˆ (r,t j )= AТ (t j )Ψ(r ), j =1, M ;

3) по набранному таким образом архиву реализаций случайного

вектора A находятся оценки его вероятностных характеристик – математического ожидания и корреляционной матрицы;

4)по рекуррентным соотношениям (2.5.5) рассчитываются элементы треугольной матрицы Λ ;

5)в соответствии с выражениями (2.5.7) строятся функции при-

ближенного канонического разложения { Ψk (r )}.

Теоретическое обоснование связи собственных функций невозмущенного реактора с оптимальными координатными функциями канонического разложения

Рассмотрим реактор в одногрупповом диффузионном приближении с нулевыми граничными условиями, в котором случайным образом флюктуируют свойства среды:

141

а конкретная реализация случайного отклонения плотности потока нейтронов от математического ожидания – уравнению

Умножая уравнение (3.6) на δϕ(r ) , а уравнение (2.5.14) – на ϕ0 (r ) , интегрируя их по объему реактора с учетом граничных ус-

ловий, получим выражение для конкретной реализации параметра

Θ:

∫ε(r )ϕ02 (r )dr

Θ = −V . (2.5.15)

∫ϕ02 (r )dr

V

Пусть G(r , r0 ) – функция Грина невозмущенного реактора с нулевыми условиями на экстраполированной границе:

Выразим решение уравнения (2.5.14) через функцию Грина:

V

Тогда корреляционная функция плотности потока нейтронов будет иметь вид:

V V

(2.5.18)

Явный вид выражения M [(ε(r0 ) + Θ)(ε(r0 ) + Θ)] получим, подставив вместо Θ выражение (2.5.15):

143

Таким образом, корреляционная функция плотности потока нейтронов есть

Kϕ (r, r′) = ∫ ∫G (r, r0 )G (r′, r1 )ϕ0 (r0 )ϕ0 (r1 ) {Kε (r0 , r1 )−

V V

Выражение (2.5.20) существенно упрощается, если учесть, что оператор L = + æ02 (r ) является самосопряженным. Тогда выполняется условие ортогональности:

и выражение для корреляционной функции принимает вид:

Kϕ (r, r′) = ∫∫G(r, r0 ) G(r′, r1)ϕ0 (r0 )ϕ0 (r1) Kε (r0, r1)dr0dr1 . (2.5.22)

V V

144

Известно, что функция Грина для самосопряженного оператора имеет вид:

V

где ϕk (r ) – собственные функции краевой задачи:

где S – экстраполированная граница реактора.

Таким образом, корреляционная функция реактора выражается через его собственные функции.

С другой стороны, координатные функции оптимального канонического разложения являются собственными функциями интегрального уравнения Фредгольма второго рода, где ядром является корреляционная функция:

Подставляя выражение (2.5.23) в формулу (2.5.22), а затем в (2.5.25), получим связь между собственными функциями реактора и координатными функциями оптимального канонического разложения:

(2.5.26)

Как видно из этого выражения, зависимость между собственными функциями невозмущенной задачи и координатными функциями оптимального канонического разложения определяется корреляционной функцией флюктуаций в свойствах среды Kε (r0 , r1) .

Если флуктуации в свойствах среды представляют собой белый

145

мальные координатные функции канонического разложения – соб-

Нетрудно показать также, что в этом случае взаимная корреляционная функция плотности потока нейтронов и возмущений среды имеет вид

Kε, δϕ = Dεϕ0 (r0 ) G(r , r0 ) .

Каноническое представление плотности потока нейтронов в реакторе в форме бесконечной плоской пластины

Рассмотрение реактора в форме бесконечной плоской пластины может позволить не только более наглядно представить полученные выше результаты, но имеет и практическое приложение, например, для анализа высотных полей. В этом случае уравнение (2.5.8) примет вид

Уравнение для собственных функций невозмущенного реактора будет иметь вид:

а уравнение для оптимальных координатных функций канонического разложения в соответствии с выражением (2.5.31) – следующий вид:

При этом предполагается, что возмущения представляют собой белый шум.

147

Для сравнения оптимальных координатных и собственных функций невозмущенного реактора рассмотрим реактор с зоной «плато». Распределение материального параметра и плотности потока нейтронов в этом случае показаны на рис. 2.17.

Рис. 2.17. Распределение материального параметра (а) и плотности потока нейтронов (б) в трехзонном реакторе

Активная зона реактора представляет собой компоновку из трех зон. В периферийных зонах значения материального параметра

одинаковы и равны величине π 2 , где δ – ширина периферийной

2δ

зоны. Степень уплощения поля нейтронов будем характеризовать величиной параметра p = 1 −12δ =1 − 2δ. При p = 0 реактор пред-

ставляет собой пластину с однородными свойствами, при p =1 –

бесконечный реактор. Математическое ожидание распределения материального параметра и плотности потока нейтронов в таком реакторе имеют следующие зависимости:

148

уравнения для собственных функций и функций оптимального канонического разложения, соответственно, примут вид:

Решение задач (2.5.37) и (2.5.38) будем искать методом Галеркина. Для этого представим функции ϕ(x) и Ψ(x) в виде суперпо-

зиций по собственным функциям однородного плоского реактора:

i=1

Подставляя эти выражения, соответственно, в уравнения (2.5.37) и (2.5.38), умножая обе части уравнения на sin(πjx) и интегрируя

по объему, получим задачи линейной алгебры на собственные значения и собственные векторы:

где R и M – квадратные матрицы размера (k ×k ) .

149

Оптимальные координатные функции канонического разложе-

10

ния находятся при этом из соотношения ψi (x) = ∑ Aki sin(π i x) , а

k =1

10

собственные функции – из соотношения ϕi (x) = ∑ Bki sin(π i x) .

k=1

На рис. 2.18 показаны первые пять собственных функций однородного реактора и первые пять функций оптимального канонического разложения.

Рис. 2.18. Собственные функции ψk (сплошные линии) однородного реактора и функции оптимального канонического разложения ξk (пунктир), см. также с. 151

150