Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики 5 семестр
Лекция 7
Энергетический метод.
5 декабря 2014 года Лектор: профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович
Энергетический метод
t |
D |
|
|
|
|
||
t T |
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
x1 |
(x) |
2u |
div( |
|
t2 |
||
|
|
|
|
|
u(x,0) (x), |
||
Rn
D {(x,t) : x , t 0}
Классическое решение
u C2 (x ,t 0)
p(x) u) q(x)u f (x,t), x , t 0
ut (x,0) ( x), x
(x)u(x,t) (x) u (x,t) 0, x , t 0
Энергетический метод
Основные ограничения
(x) C( ), (x) 0 p(x) C1( ), p(x) 0 q(x) C( ), q(x) 0 f (x,t) C(x ,t 0)
(x) C2 ( ), (x) C1( )
(x), (x) C( ), (x) 0, ( x) 0
(x) (x) 0
Энергетический метод
Интеграл энергии
E(t) |
|
1 |
|
|
u 2 |
dx |
1 |
|
|
2 |
dx |
||
2 |
(x) |
|
2 |
p(x) | u(x,t) | |
|||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(x) |
|
|
|
2 q(x) | u(x,t) |2 dx |
|
2 p(x) |
(x) |
| u(x,t) |2 dS |
||||||||
0
|
Теорема об изменении энергии |
|
||
E(T ) |
E(0) T |
f (x,t) |
u(x,t) dx dt |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Энергетический метод
E '(t) ?
|
d 1 |
|
|
u |
2 |
1 |
|
u |
u |
|
u 2u |
|
|||||
|
|
|
(x) |
|
dx |
|
2 |
|
|
|
dx |
|
|
2 |
dx |
||
|
dt 2 |
2 |
t |
|
t |
t |
|||||||||||
|
|
|
t |
|
|
t |
t |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t
| u |2 t ( u, u)
2 u, t
u, ut
u 2 u,
|
|
u, |
|
|
|
|
|
|
ut
ut
d 1 |
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
u |
||
|
|
p(x) | u(x,t) | |
dx |
|
p |
|
| u | |
dx p |
u, |
dx |
||
dt 2 |
2 |
t |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|||||
Энергетический метод
|
|
d 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 q(x) | u(x,t) |2 dx 2 |
q(x) |
|
u2 (x,t)dx |
||||||||||
|
|
dt |
t |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
q2u |
u |
qu |
u |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
t dx |
t dx |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
d 1 |
p(x) (x) |
| u(x,t) |2 |
dS 1 |
|
p u2 |
dS |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dt 2 |
|
(x) |
|
|
|
2 |
|
t |
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
p |
|
2u |
u dS p |
|
u |
u dS |
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Энергетический метод
E '(t) |
u 2u |
|
|
u, |
u |
||
t t |
2 |
dx p |
dx |
||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
qu u dx p |
u |
u dS |
|||||
|
t |
|
|
|
|
t |
|
0
Первая форрмула Грина для оператора Lu div( p u) c 1
v div p u dx pv |
u |
|
dS p( u, v)dx |
|
u |
|
|
|
v |
|
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
u |
div p u dx p |
u u |
|
|
|
u |
||
|
|
|
dS p |
u, |
dx |
||||
t |
|||||||||
|
t |
|
|
|
|
t |
|||
Энергетический метод
|
|
|
u |
|
u u |
|
u |
div p u dx |
||
p |
u, |
dx p |
|
|
dS |
|||||
t |
||||||||||
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
u |
|
|
u, 0 |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
u |
|
0 |
|
|
|
|
|
u 0 |
t |
0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
u 0, 0 |
|
|
|
|
||||
p |
u |
u |
dS p |
u |
u |
dS p |
u |
u |
dS |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
p |
u |
|
|
|
|
|
|
|
p |
u |
udS |
|||||||
t |
|
|
u dS 0 |
t |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Энергетический метод
|
|
u, |
u |
|
|
|
u |
udS |
u |
div |
p u dx |
||||||||||
p |
t |
dx p |
t |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E '(t) |
u 2u |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
u |
dx |
||||
|
t t |
2 |
dx p u, |
dx qu |
t |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||
|
p |
u |
u dS |
u 2u2 dx |
|
p u udS |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
div |
p u dx qu |
u |
dx |
|
p |
|
u |
u |
dS |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
0
Энергетический метод
|
E '(t) |
u 2u |
u |
div p u dx qu |
u |
dx |
|
||||||||
|
t t |
2 |
dx |
|
t |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2u |
div |
p u |
qu |
u dx |
|
f (x,t) u(x,t) dx |
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
E(T ) E(0) T |
f (x,t) |
u(x,t) dx dt |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон сохранения энергии
f (x,t) 0 E(t) E(0), t 0