Принцип максимума
(x) ut1 div( p(x) u1 ) q(x)u1 f (x,t), x , t 0
u1(x,0) (x), x
u1(x,t) g(x,t), x , t 0
(x) u2 |
div( p(x) u |
) q(x)u |
f (x,t), x , t 0 |
t |
2 |
2 |
|
|
|
|
u2 (x,0) (x), x
u2 (x,t) g(x,t), x , t 0
Принцип максимума
|
max | u1(x,t) u2 (x,t) | |
|
|
||
|
|
DT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) 2 |
|
|
|
max max | 1 |
(x) |, max | g1(x,t) g2 ( x, t) | |
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
0 t T |
|
||
|
|
|
|
|
|
T max | f1(x,t) f2 (x,t) |
DT
1(x) 2 (x), g1(x,t) g1(x,t), f1(x,t) f2 (x,t)
max | u1(x,t) u2 (x,t) | max 0,0 |
T |
0 0 |
|||
|
|||||
DT |
|
|
|
||
u1(x,t) u2 (x,t) 0 |
|
u1(x,t) u2 (x,t) |
|
||
|
|
|
|
|
|
Принцип максимума
Единственность решения задачи Коши для одномерной теплопроводности
|
|
2 |
|
|
u |
a2 u |
f (x,t), x R, t 0 |
||
|
||||
|
t |
x2 |
|
u(x,0) (x), x R
Классическое решение:
u C2 (x R,t 0) C(x R,t 0)
Классическое решение задачи Коши не единственно!
Принцип максимума
Регулярное решение:
1)u(x,t) классическое решение
2)u(x,t) ограничена в каждой полосе {x R,0 t T}
Необходимое условие существования регулярного решения:
функция (x) непрерывна и ограничена на всей числовой прямой R
Принцип максимума
Принцип экстремума для регулярного решения однородного уравнения
u |
a2 |
2u |
, x R, t 0 |
|
t |
x2 |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
inf u(x,0) u(x,t) sup u(x,0)
x R |
x R |
|
Принцип максимума
inf u(x,0) u(x,t)
x R
x0 R, t0 0, T t0
m inf u(x,0), n inf |
u(x,t) |
(m n) |
|
|
||||||||||
|
|
x R |
|
x R |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 t T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(x,t) x |
2 |
2 |
t |
v |
2 |
, |
2v |
2 |
|
v |
a |
2 2v |
||
|
2a |
t |
2a |
x2 |
t |
x2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w(x,t) u(x,t) m |
|
v(x,t) |
|
|
|
|
||||||
|
|
v(x ,t ) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
w(x,t) – классическое решение уравнения теплопроводности
Принцип максимума
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w(x,t) u(x,t) m |
|
|
|
v(x,t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m n)v(x ,t ) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(x ,t ) |
|
|
|
|
|
L |
| x0 | |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t T |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x0 ,t0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( L; L) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DT {(x,t) : L x L, 0 t T} |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
v(x,t) x2 2a2t |
||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(x,0) |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
w(x,0) u(x,0) m |
|
u(x,0) m 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
v(x ,t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
| x | L |
|
|
x |
2 |
|
|
|
| |
|
(m n)v(x ,t |
) |
2 |
|
(m n)v(x |
,t |
) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
w(x,t) |
|
|
|
|
u(x,t) |
m |
|
|
x2 |
|
|
u(x,t) m |
(m n)v(x ,t ) |
u(x,t) n 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
v(x0 ,t0 ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|x| L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(x0 ,t0 ) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Принцип максимума
w(x,t) u(x,t) m v(x,t) 0 w(x0,t0 ) 0 v(x0 ,t0 )
u(x0 ,t0 ) m 0 u(x0 ,t0 ) m u(x0,t0 ) m
u(x,t) inf u(x,0)
x R
u(x,t) u(x,t)
u(x,t) inf u(x,0)
x R
u(x,t) inf u(x,0) sup u(x,0)
x R x R
u(x,t) sup u(x,0)
x R
Принцип максимума
Единственность регулярного решения
u1 |
2 |
u1 f (x,t), x R, t 0 |
u2 |
2 |
u2 f (x,t), x R, t 0 |
|
a2 |
a2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
x2 |
t |
x2 |
|||
u (x,0) (x), x R |
u (x,0) (x), x R |
|||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
2 |
u |
, x R, t 0 |
|
|
a2 |
|||
|
|
|
|
|
|
u(x,t) u1(x,t) u2 (x,t) |
|
t |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x R |
|
|
u(x,0) 0, |
|||
inf u(x,0) u(x,t) sup u(x,0)
0 u1(x,t) u2 (x,t) 0 u1(x,t) u2 (x,t)
Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики. Принцип максимума. Лекция 6 завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции: Энергетический метод.
Лекция состоится в понедельник 5 декабря В 12:00 по Московскому времени.