Принцип максимума
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M0 |
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max max | (x) |, max | g(x,t) | |
||||
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|
x |
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|
0 t T |
|
M1 max | f (x,t) |
DT
min (x)
| u(x,t) | M0 M1T
u(x,t)
u(x,t)
M0 M1T
M0 M1T
Принцип максимума
v(x,t) u(x,t) |
M1t |
, u(x,t) v(x,t) M1t |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x) ut div( p(x) u) q(x)u f (x,t)
(x) vt div( p(x) v) q(x)v f1(x,t)
f1(x,t) f (x,t) (x) |
M1 |
q(x) |
M1t |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
f (x,t) M1
(x) 1
q(x,t) 0
|
M1 |
|
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|
||
f (x,t) (x,t) |
0 |
|
|
f1 |
(x,t) 0 |
|||
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||||||||
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|||
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Принцип максимума
v(x,t) u(x,t) |
M1t |
max{0, max v(x,t)} |
|
|
|
|
T |
|
|
||
T 1 2,T {(x,t) : x , t 0} {(x,t) : x , 0 t T}
v u |
v |
|
|
u |
|
|
|
|
max v(x,t) max u(x,t) |
|
||||||||
|
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|||||||||||||||
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|
T |
|
|
|
T |
|
|
|
T |
|
T |
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max | u(x,t) | max |
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M |
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||||||||
max | (x) |,max | g(x, t) | |
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|||||||||||||||||
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x |
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0 |
T |
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0 t T |
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u(x,t) |
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M1t |
max{0, M0} M0 |
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M1t |
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M1T |
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u(x,t) |
M0 |
M0 |
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|||||||||||
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Принцип максимума
w(x,t) u(x,t) M1t |
, u(x,t) w(x,t) |
M1t |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x) ut div( p(x) u) q(x)u f (x,t)
(x) wt div( p(x) w) q(x)w f2 (x,t)
|
|
|
f2 (x,t) f (x,t) (x) |
M1 |
q(x) |
M1t |
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||||||
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f (x,t) M1 |
M1 |
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|||
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|
|
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|
|||||
|
(x) 1 |
f (x,t) (x,t) |
|
0 |
|
|
f2 (x,t) 0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
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||||||||||||
|
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|
q(x,t) 0 |
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|
||
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|
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|
Принцип максимума
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w(x,t) u(x,t) M1t |
min{0, min w(x,t)} |
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|
T |
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|
|
|
|
|
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|
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|
|||
|
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|
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|||||||||||||||||||||||
|
T 1 2,T {(x,t) : x |
|
, t 0} {(x,t) : x , 0 t T} |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||
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|||||||||||||
|
w u |
|
w |
|
T |
u |
|
T |
|
|
|
min w(x,t) min u(x,t) min | u(x,t) | |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
T |
|
|
T |
|
|
||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
max |
| u(x,t) | |
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
||||||||||||
|
max | ( x) |, max | g( x,t) | |
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
0 |
|
||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 t T |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
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|
||
|
|
|
|
|
|
u(x,t) |
|
M1t |
min{0, M0} M0 |
|
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|||||||||||||||
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||||||||||||||||
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|
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|
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|
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|
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|
M1t |
|
|
M1T |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
u(x,t) |
M0 |
|
|
M0 |
|
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|||||||||||||
|
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|
|
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|||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принцип максимума
Оценка устойчивости решения задачи Дирихле
t |
D |
|
|
t T |
DT {(x,t) : x , 0<t T} |
|
|
|
xn |
|
|
x1 |
|
Принцип максимума
(x) ut1 div( p(x) u1 ) q(x)u1 f1(x,t), x , t 0 u1(x,0) 1(x), x
u1(x,t) g1(x,t), x , t 0
ut2 div( p(x) u2 )
u2 (x,0) 2 (x), x
u2 (x,t) g2 (x,t), x , t
q(x)u2 f2 (x,t), x , t 0
0
Принцип максимума
u(x,t) u1(x,t) u2 (x,t)
(x) 1(x) 2 (x)
g(x,t) g1(x,t) g2 (x,t)
f(x,t) f1(x,t) f2 (x,t)
(x) ut div( p(x) u) q(x)u f (x,t), x , t 0 u(x,0) (x), x
u(x,t) g(x,t), x , t 0
Принцип максимума
| u(x,t) | M0 M1T
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
max max | (x) |, max | |
|||
|
|
|
x |
|
|
0 t T |
|
|
|
|
|
M1 max | f (x,t) |
DT
min (x)
g(x,t) |
|
|
|
|
|
|
T |
|
||
| u(x,t) | max |
max | (x) |, max | g(x, t) | |
|
max | f ( x, t) | |
||||||
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
0 t T |
|
|
|
T |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принцип максимума
max | u1(x,t) u2 (x,t) |
DT
|
|
|
|
|
(x) |
max max | 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(x) |, max | g1(x,t) |
|
|
g2 (x,t) | |
|||
|
x |
|
|
|
0 t T |
|
|
T max | f1(x,t) f2 (x,t) |
DT
|
|
Принцип максимума |
|
t |
|
D |
|
|
|
DT {(x,t) : x , 0<t T} |
|
t T |
|
|
Единственность решения |
|
|
|
|
|
|
xn |
задачи Дирихле |
|
|
|
|
x1 |
u |
|
|
(x) |
div( p(x) u) q(x)u f (x,t), x , t 0 |
||
|
t |
|
|
u(x,0) (x), x |
|
||
u(x,t) g(x,t), x , t 0 |
|||