Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики 5 семестр
Лекция 6
Принцип максимума.
28 ноября 2014 года Лектор: профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович
Принцип максимума
t |
D |
t T |
xn |
|
x1 |
Rn
D {(x,t) : x , t 0}
DT {(x,t) : x , 0<t T}
1 {(x,t) : x , t 0}2 {(x,t) : x , t 0}
2,T {(x,t) : x , 0 t T}
1 2 |
|
|
параболические |
||
|
|
2,T |
|
границы D и D |
|
T |
1 |
|
|
T |
|
(x) ut div( p(x) u) q(x)u f (x,t), x , t 0
Принцип максимума
Основные предположения
|
(x) C( |
|
|
), (x) 0, |
p(x) C1( |
|
|
), p(x) 0 |
|
||
|
|
|
|
||||||||
|
q(x) C( |
|
), q(x) 0, |
f (x,t) C( |
|
) |
|
||||
|
|
D |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Классическое решение:
вD : u(x,t) C2 (x , t 0) C(x , t 0)
вDT : u(x,t) C2 (x , 0 t T ) C(x , 0 t T )
Принцип максимума
Принцип максимума
|
|
|
f (x,t) 0 |
|
u(x,t) max{0,max u(x,t)} |
|
|
T |
|
|
Альтернативная формулировка:
Либо решение всюду неположительно, либо принимает свой положительный максимум на параболической границе
Принцип максимума
Доказательство от противного:
u(x0 ,t0 ) max{0,max u(x,t)} M |
(M 0) |
||
|
T |
|
|
(x0 ,t0 ) T (x0 , 0 t0 T ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x0 ,t0 ) M |
|
|
|
v(x,t) u(x,t) |
(T t) |
(v u) |
|
2T |
|
||
|
|
|
|
v |
|
|
u |
|
|
|
|
M |
|
(M ) |
|
|
||
|
|
|||||||||||||
|
|
T |
|
|
T |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u(x ,t |
) |
v(x ,t |
) |
v(x |
,t |
) |
||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
2 |
0 |
0 |
|
2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Принцип максимума
max v(x,t) v(x ,t ), ( x ,t |
) (x , 0 t T ) |
|||||||||||||||||||||||||||||
DT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
v(x ,t ) 0, |
v |
(x ,t ) 0, v(x ,t ) 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
u |
|
div( p u) qu |
|
|
|
|
|
|
|
(T t) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
f |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
2T |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
div |
|
|
|
|
|
(T t) |
|
|
|
|
|
|
(T t) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
p |
|
v |
|
|
|
|
q |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2T |
|
|
|
|
|
|
|
2T |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
v |
|
|
|
div p v |
qv |
q (T t) |
|
f |
|
|
|||||||||||||||||||
t |
|
2T |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
v |
|
|
|
p, v p v qv |
|
q (T t) |
|
f |
|||||||||||||||||||||
t |
|
2T |
|
|
|
2T |
|
|
||||||||||||||||||||||
Принцип максимума
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q (T t) |
|
|
|
|||||||||||||
0 |
t |
|
|
p, v p v qv |
|
|
|
|
|
|
|
f |
||||||||||||||||||||||||||
2T |
|
|
2T |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 0 qv |
q (T t) |
|
|
|
|
|
qv q (T t) |
|||||||||||||||||||||||
|
2T |
|
|
|
2T |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2T |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
v(x ,t ) v(x |
,t ) u(x ,t ) M |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x ,t |
) M , |
v(x,t) u(x,t) |
|
(T t) |
(v u) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2T |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
qv |
q (T t) |
|
|
|
q |
q (T t) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
2T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2T |
|
|
|
2T |
|
|
|
|
|
|
|
2T |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
q T t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2T |
|
|
|
|
|
|
|
2T |
|
|
|
2T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Принцип максимума
Принцип минимума
|
|
|
f (x,t) 0 |
|
u(x,t) min{0,min u(x,t)} |
|
|
T |
|
|
Альтернативная формулировка:
Либо решение всюду неотрицательно, либо принимает свой отрицательный минимум на параболической границе
Принцип максимума
(x) ut div( p(x) u) q(x)u f (x,t), x , t 0 v u
(x) |
v |
div( p(x) v) q(x)v f (x,t), x , t 0 |
|
|
|||
|
t |
|
|
f (x,t) 0 |
v(x,t) max{0,max v(x,t)} |
||
|
|
|
T |
f (x,t) 0 |
u(x,t) max{0,max( u(x,t))} |
||
|
|
|
T |
min{0, max( |
u(x,t))} min{0,min( u(x, t))} |
T |
T |
u(x,t) min{0,min( u(x,t))}
T
|
|
Принцип максимума |
|
t |
|
D |
|
|
|
DT {(x,t) : x , 0<t T} |
|
t T |
|
|
Оценка решения |
|
|
|
|
|
|
xn |
задачи Дирихле |
|
|
|
|
x1 |
u |
|
|
(x) |
div( p(x) u) q(x)u f (x,t), x , t 0 |
||
|
t |
|
|
u(x,0) (x), x |
|
||
u(x,t) g(x,t), x , t 0 |
|||