Метод Фурье
3. Вычисляем коэффициенты Фурье исходных данных
k || u1k ||2 (x) (x)uk (x)dx
fk (t) || u1k ||2 f (x,t)uk (x)dx
4. Вычисляем коэффициенты Фурье решения задачи по формуле
t
Tk (t) k e k t fk ( )e k (t )d
0
5. Выписываем решение исходной задачи
u(x,t) Tk (t)uk (x)
k 1
Метод Фурье
Метод Фурье для многомерного гиперболического уравнения.
(x) 2u div
t2
u(x,0) (x),
(x)u(x,t)
p(x) u q(x)u f (x,t), x , t 0
u(x,0) (x), x ,
t
(x) u(x,t) 0, x , t 0
Метод Фурье
Ассоциированная задача Штурма-Лиувилля
div( p(x) u) q(x)u u, x(x)
(x)u(x) (x) u(x) 0, x
Решение ассоциированной ЗШЛ – последовательность всех собственных значений и собственных функций, составляющих ортогональный базис:
{ } |
|
|
, {u (x)} |
|
|
|
|
||||
k |
|
k 1 |
k |
|
k 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Метод Фурье
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x,t) Tk (t)uk (x) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2u2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
(x) |
div p(x) u q(x)u f (x,t), x , t 0 |
||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x) Tk ''(t)uk (x) Tk (t) div( p(x) uk ) |
q(x)Tk (t)uk f (x,t) |
|||||||||||
|
k 1 |
|
|
k 1 |
|
|
k 1 |
f (x,t) |
||||
|
Tk ''(t)uk (x) Tk (t) div( p(x) uk ) q(x)uk |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
k 1 |
(x) |
f (x,t) |
|
(x) |
||||
|
|
|
Tk ''(t)uk (x) kTk (t)uk |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
k 1 |
|
(x) |
|
|
|
|
Метод Фурье
Tk
k 1
''(t)uk (x) kTk (t)uk f (x,t) |
|
|
|
k 1 |
(x) |
fk (t) |
1 |
|
|
|| u |
|
||
|
||2 |
||
|
k |
|
|
|
f (x,t) fk (t)uk (x), |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
k 1 |
|
|
|
|
||
(x) |
f (x,t) |
u (x)dx |
1 |
|
f (x,t)u (x)dx |
|||
|
|
|
||||||
|
|
(x) |
k |
|| u |
||2 |
|
k |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
Tk ''(t)uk (x) kTk (t)uk fk (t)uk (x) |
||
k 1 |
k 1 |
k 1 |
Tk ''(t) kTk (t) fk (t)
Метод Фурье
u(x,t) Tk (t)uk (x), u (x,t) Tk '(t)uk (x) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
t |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x,0) (x) |
Tk (0)uk (x) (x) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
u (x,0) (x) Tk '(0)uk (x) (x) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
(x) (x)u (x)dx T (0) |
|
|
|
||
k |
|
|
|
|
k |
|
||||||
|
|
|| u |
||2 |
|
|
k |
k |
|
|
|||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(x) (x)u (x)dx T '(0) |
|
|||||
k |
|
|
|
k |
||||||||
|
|
|
|| u |
||2 |
|
|
k |
k |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод Фурье
|
Tk ''(t) kTk (t) fk (t) |
|
|
||
|
T |
(0) |
k |
k |
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
'(0) k |
|
|
|
|
Tk |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos t |
k |
sin t |
1 |
t |
( )sin (t )d , |
0 |
|||||
|
f |
||||||||||||
|
k |
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
k |
|
k |
k |
k |
|
||
|
|
|
|
|
k |
k 0 |
|
|
|
||||
Tk (t) |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
t f |
( )(t )d , 0 |
|
|
|||||||
|
k |
|
|
||||||||||
|
k |
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод Фурье
(x)u(x,t) (x) u (x,t)
(x) T k (t)uk (x,t) (x) T k (t) uk (x,t) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
k 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
uk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
T k (t) |
(x)uk (x,t) (x) |
|
(x,t) |
|
||||
|
||||||||
k 1 |
|
|
|
|
|
|
||
T k (t) 0 0
k 1
Метод Фурье
Алгоритм решения
1. Выписываем ассоциированную задачу Штурма-Лиувилля
div( p(x) u) q(x)u u, x(x)
(x)u(x) (x) u(x) 0, x
находим собственные значения и составляем из собственных функций ортогональный базис
{ k }k 1 , {uk (x)}k 1
2.Вычисляем квадраты норм собственных функций
||uk ||2 (x) | uk (x) |2 dx
Метод Фурье
3. Вычисляем коэффициенты Фурье исходных данных
k |
1 |
|
|
(x) (x)uk (x)dx, k |
1 |
(x) (x)uk (x)dx |
|||
|| uk ||2 |
|| uk ||2 |
||||||||
|
|
|
|||||||
fk (t) |
|
1 |
|
f (x,t)uk (x)dx |
|
|
|||
|| u |
|
|
|
||||||
|
|
||2 |
|
|
|||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
||
4. Вычисляем коэффициенты Фурье решения задачи по формуле
|
|
cos t |
k |
sin |
t |
1 |
t |
|
f |
( )sin |
(t )d , |
|
0 |
|||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
k |
|
|
k |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
k |
k |
|
|
||||
|
|
|
|
|
k |
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
Tk (t) |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t f |
( )(t )d , |
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
k |
k |
|
|
|
|||||||||||
|
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Выписываем решение исходной задачи
u(x,t) Tk (t)uk (x)
k 1
|
|
Метод Фурье |
|
|
Пример (БК 695) |
|
2 |
uxx u, 0 x l, t 0, |
ut a |
||
|
|
|
u(x,0) sin x , 0 x l, |
||
|
|
2l |
u(0,t) 0, t 0,ux (l,t) 0, t 0
Ассоциированная ЗШЛ:
a2u '' u u, 0 x l
u(0) 0u '(l) 0