Метод Фурье
1u(a,t) 1 u (a,t) 1 |
T k (t)uk (a) 1 |
T k (t)uk '(a) |
|
|
|
|
|
x |
k 1 |
|
k 1 |
|
|
|
|
T k (t) 1uk (a) 1uk '(a) T k (t) 0 0 |
|||
k 1 |
|
k 1 |
|
2u(b,t) 2 u (b,t) 2 T k (t)uk (b) 2 |
T k (t)uk '(b) |
||
|
|
|
|
x |
k 1 |
|
k 1 |
|
|
|
|
T k (t) 2uk (b) 2uk '(b) T k (t) 0 0 |
|||
k 1 |
|
k 1 |
|
Метод Фурье
Алгоритм решения
1. Выписываем ассоциированную задачу Штурма-Лиувилля
(p(x)u ')' q(x)u u, a x b
(x)
1u(a) 1u '(a) 02u(b) 2u '(b) 0
находим собственные значения и выбираем для каждого собствен- ного значения по одной собственной функции
{ k }k 1 , {uk (x)}k 1
2. Вычисляем квадраты норм собственных функций
b
|| uk ||2 (x) | uk (x) |2 dx
a
Метод Фурье
3. Вычисляем коэффициенты Фурье исходных данных
|
1 |
b |
1 |
b |
|
k |
(x) (x)uk (x)dx, k |
(x) (x)uk (x)dx |
|||
|| uk ||2 |
|| uk ||2 |
||||
|
a |
a |
1 b
fk (t) || uk ||2 a (x,t)uk (x)dx
4.Вычисляем коэффициенты Фурье решения задачи по формулеf
|
|
cos t |
k |
sin |
t |
1 |
t |
|
f |
( )sin |
(t )d , |
|
0 |
|||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
k |
|
|
k |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
k |
k |
|
|
||||
|
|
|
|
|
k |
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
Tk (t) |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t f |
( )(t )d , |
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
k |
k |
|
|
|
|||||||||||
|
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Выписываем решение исходной задачи
u(x,t) Tk (t)uk (x)
k 1
Метод Фурье
Метод Фурье для многомерного параболического уравнения.
(x) ut div u(x,0) (x),
(x)u(x,t)
p(x) u q(x)u f (x,t), x , t 0
x
(x) u(x,t) 0, x , t 0
Метод Фурье
Ассоциированная задача Штурма-Лиувилля
div( p(x) u) q(x)u u, x(x)
(x)u(x) (x) u(x) 0, x
Решение ассоциированной ЗШЛ – последовательность всех собственных значений и собственных функций, составляющих ортогональный базис:
{ } |
|
|
, {u (x)} |
|
|
|
|
||||
k |
|
k 1 |
k |
|
k 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Метод Фурье
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x,t) Tk (t)uk (x) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
||||
(x) |
div p(x) u q(x)u f (x,t), x , t 0 |
||||||||||
t |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(x) Tk '(t)uk (x) |
Tk (t) div( p(x) uk ) |
q(x)Tk (t)uk f (x,t) |
|||||||||
k 1 |
|
|
k 1 |
|
k 1 |
f (x,t) |
|||||
Tk '(t)uk (x) Tk (t) div( p(x) uk ) q(x)uk |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
k 1 |
(x) |
|
|
|
(x) |
|||
|
|
Tk '(t)uk (x) kTk (t)uk f (x,t) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
k 1 |
(x) |
|
|
|
||
Метод Фурье
Tk
k 1
'(t)uk (x) kTk (t)uk f (x,t) |
|
|
|
k 1 |
(x) |
fk (t) |
1 |
|
|
|| u |
|
||
|
||2 |
||
|
k |
|
|
|
f (x,t) fk (t)uk (x), |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
k 1 |
|
|
|
|
||
(x) |
f (x,t) |
u (x)dx |
1 |
|
f (x,t)u (x)dx |
|||
|
|
|
||||||
|
|
(x) |
k |
|| u |
||2 |
|
k |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
Tk '(t)uk (x) kTk (t)uk fk (t)uk (x) |
||
k 1 |
k 1 |
k 1 |
Tk '(t) kTk (t) fk (t)
Метод Фурье
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x,0) (x) Tk (0)uk (x) (x) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(x) (x)u (x)dx T (0) |
|
|
||
k |
|
|
k |
||||||
|
|
|| u |
||2 |
|
k |
k |
|
||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tk '(t) kTk (t) fk (t)
Tk (0) k
t
Tk (t) k e k t fk ( )e k (t )d
0
Метод Фурье
(x)u(x,t) (x) u (x,t)
(x) T k (t)uk (x,t) (x) T k (t) uk (x,t) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
k 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
uk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
T k (t) |
(x)uk (x,t) (x) |
|
(x,t) |
|
||||
|
||||||||
k 1 |
|
|
|
|
|
|
||
T k (t) 0 0
k 1
Метод Фурье
Алгоритм решения
1. Выписываем ассоциированную задачу Штурма-Лиувилля
div( p(x) u) q(x)u u, x(x)
(x)u(x) (x) u(x) 0, x
находим собственные значения и составляем из собственных функций ортогональный базис
{ k }k 1 , {uk (x)}k 1
2.Вычисляем квадраты норм собственных функций
||uk ||2 (x) | uk (x) |2 dx